Seja f(x)=\left(x^{2}+1\right)(x-3) e g(x)=\frac{x^{2}+4}{x}.
Calcule f^{\prime}(x) usando a regra do produto.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede uma coisa específica. Informações relevantes:
f(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)(x-3)
g(x)=\frac{x^{2}+4}{x}
O que o enunciado pede: calcule f^{\prime}(x) usando a regra do produto.
Observação: a função g(x) está no enunciado, mas não é necessária para calcular f^{\prime}(x).

Passo 2

O que é a “regra do produto” e por que vamos usá-la aqui? Quando uma função é produto de duas funções, isto é, quando temos
h(x)=u(x)\,v(x),
a derivada de h é dada por
h^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\,v(x)+u(x)\,v^{\prime}(x).
Aqui, u(x) e v(x) são as duas partes que multiplicam entre si; u^{\prime} e v^{\prime} são as derivadas delas. Essa fórmula diz: derive uma, deixe a outra, e some com a mesma coisa trocando qual se derivou.
Também preciso das regras básicas de derivada que usarei:
  • A derivada de uma potência é \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • A derivada de uma constante é 0. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}1=0.
  • A derivada de x é 1: \dfrac{d}{dx}x=1.

Passo 3

Identifico as duas funções que compõem o produto em f(x). Escolho
u(x)=x^{2}+1, \qquad v(x)=x-3.
Agora calculo as derivadas de cada uma separadamente:
u^{\prime}(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=\dfrac{d}{dx}x^{2}+\dfrac{d}{dx}1=2x+0=2x,
v^{\prime}(x)=\dfrac{d}{dx}(x-3)=\dfrac{d}{dx}x-\dfrac{d}{dx}3=1-0=1.

Passo 4

Aplico a regra do produto usando os resultados acima. Substituindo em
f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\,v(x)+u(x)\,v^{\prime}(x),
obtenho
f^{\prime}(x)=2x\,(x-3)+(x^{2}+1)\cdot 1.

Passo 5

Faço as contas algébricas para simplificar a expressão encontrada. Primeiro distribuo o 2x:
2x\,(x-3)=2x^{2}-6x.
Somando com (x^{2}+1) tenho
2x^{2}-6x+(x^{2}+1)=2x^{2}-6x+x^{2}+1.
Agora junto os termos semelhantes (os termos em x^{2}, os termos em x e as constantes):
2x^{2}+x^{2}=3x^{2}, \qquad -6x\\ \text{permanece}, \qquad +1\\ \text{permanece}.

Passo 6

Concluímos a simplificação e chegamos à forma polinomial final da derivada. Força aí — você já dominou o procedimento: identificar u e v, derivar cada uma, aplicar u'v+uv' e simplificar.

Resposta

f'(x)=3x^{2}-6x+1

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