Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{3}+2 x-7}{x^{3}-5 x^{2}+1}
(a) Resolva o limite usando a técnica de divisão pela maior potência.
(b) Interprete o resultado em termos de comportamento assintótico.

Passo 1

O problema pede duas coisas aplicadas à função racional
f(x)=\frac{3x^{3}+2x-7}{x^{3}-5x^{2}+1}
quando x\to +\infty:
(a) Calcular o limite \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^{3}+2x-7}{x^{3}-5x^{2}+1} usando a técnica de dividir pela maior potência de x presente.
(b) Interpretar o resultado em termos do comportamento assintótico da função (ou seja, que valor ela se aproxima e que tipo de assíntota isso indica).
As informações relevantes dadas: o numerador e o denominador são polinômios de grau 3 com coeficientes conhecidos: numerador com termo líder 3x^{3} e denominador com termo líder 1\cdot x^{3}.

Passo 2

Por que dividir pela maior potência de x? Aqui a maior potência presente em ambos os polinômios é x^{3}. A ideia é reescrever cada termo em função de potências de 1/x, que vão para zero quando x\to+\infty. Isso nos permite ver claramente o papel dos termos dominantes (os de maior grau) e provar que os termos de menor grau tornam-se irrelevantes no limite.
Regra usada (explicação didática): se temos uma expressão da forma
\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots}
e dividimos numerador e denominador por x^{n}, obtemos
\frac{a_{n} + a_{n-1}/x + \cdots}{b_{n} + b_{n-1}/x + \cdots}.
Como 1/x^{k}\to 0 para k>0 quando x\to+\infty, os termos com 1/x desaparecem no limite, restando a razão dos coeficientes líderes a_{n}/b_{n} (desde que b_{n}\neq 0).

Passo 3

Aplicando a técnica: dividimos numerador e denominador por x^{3}. Faça isso termo a termo:
Numerador:
\frac{3x^{3}+2x-7}{x^{3}}=3+\frac{2x}{x^{3}}-\frac{7}{x^{3}}=3+\frac{2}{x^{2}}-\frac{7}{x^{3}}.
Denominador:
\frac{x^{3}-5x^{2}+1}{x^{3}}=1-\frac{5x^{2}}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}=1-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{3}}.
Logo a função pode ser reescrita como
f(x)=\frac{3+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{7}{x^{3}}}{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento dos termos com x no denominador quando x\to+\infty:
  • Para qualquer potência positiva p>0 vale \dfrac{1}{x^{p}}\to 0 quando x\to+\infty.
    Aplicando isso: \frac{2}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{7}{x^{3}}\to 0,\qquad \frac{5}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{3}}\to 0.
Portanto, no limite x\to+\infty os termos fracionários desaparecem.

Passo 5

Como o denominador da forma reescrita tende a 1 (valor não nulo), podemos tomar limite de numerador e denominador separadamente e então o quociente dos limites será o limite da razão. Assim:
\lim_{x\to+\infty} f(x) = \frac{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Big(3+\frac{2}{x^{2}}-\frac{7}{x^{3}}\Big)} {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Big(1-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{3}}\Big)} = \frac{3+0-0}{1-0+0}=\frac{3}{1}=3.
Portanto o limite pedido é \;3.

Passo 6

Observação alternativa (regra rápida que cai bem na prova): para uma função racional onde o numerador e o denominador têm o mesmo grau (aqui ambos grau 3), o limite quando x\to\pm\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o coeficiente líder do numerador é 3 e do denominador é 1, então o limite é 3/1=3. Essa é uma consequência direta do processo de divisão por x^{3} mostrado acima.

Passo 7

Interpretação assintótica (parte b) — o que isso significa para o comportamento da função?
Dizer que \lim_{x\to+\infty} f(x)=3 significa que, para x muito grande, os valores de f(x) ficam próximos de 3. Em termos geométricos, a reta horizontal y=3 é uma assíntota horizontal da função para x\to+\infty.
Para ver a velocidade com que f(x) se aproxima de 3, calculemos f(x)-3:
f(x)-3=\frac{3x^{3}+2x-7}{x^{3}-5x^{2}+1}-3 =\frac{3x^{3}+2x-7-3(x^{3}-5x^{2}+1)}{x^{3}-5x^{2}+1}.
Desenvolvendo o numerador:
3x^{3}+2x-7-3x^{3}+15x^{2}-3=15x^{2}+2x-10.
Portanto
f(x)-3=\frac{15x^{2}+2x-10}{x^{3}-5x^{2}+1}.
Dividindo numerador e denominador por x^{3} ou observando ordens, para x grande o denominador cresce como x^{3} enquanto o numerador como x^{2}, logo
f(x)-3\sim \frac{15x^{2}}{x^{3}}=\frac{15}{x}\quad\text{quando }x\to+\infty.
Isso mostra que a diferença para a assíntota decai aproximadamente como 1/x (ou seja, tende a zero com taxa proporcional a 1/x). Em palavras: não só f(x) se aproxima de 3, como a aproximação é relativamente rápida, com erro na ordem de 1/x.

Passo 8

Resumo final (enfático e motivador): o limite é 3, o que implica que y=3 é a assíntota horizontal da função quando x\to+\infty; o desvio em relação a essa assíntota decai como 15/x para x grande.

Resposta

(a) \;3\n
(b) \;f(x) tem assíntota horizontal y=3; além disso f(x)-3\sim \dfrac{15}{x}\to 0 quando x\to+\infty.

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