Calcule o limite:
(a) Resolva o limite usando a técnica de divisão pela maior potência.
(b) Interprete o resultado em termos de comportamento assintótico.
(b) Interprete o resultado em termos de comportamento assintótico.
Passo 1
O problema pede duas coisas aplicadas à função racional
quando
:
(a) Calcular o limite
usando a técnica de dividir pela maior potência de
presente.
(b) Interpretar o resultado em termos do comportamento assintótico da função (ou seja, que valor ela se aproxima e que tipo de assíntota isso indica).
As informações relevantes dadas: o numerador e o denominador são polinômios de grau
com coeficientes conhecidos: numerador com termo líder
e denominador com termo líder
.
Passo 2
Por que dividir pela maior potência de
? Aqui a maior potência presente em ambos os polinômios é
. A ideia é reescrever cada termo em função de potências de
, que vão para zero quando
. Isso nos permite ver claramente o papel dos termos dominantes (os de maior grau) e provar que os termos de menor grau tornam-se irrelevantes no limite.
Regra usada (explicação didática): se temos uma expressão da forma
e dividimos numerador e denominador por
, obtemos
Como
para
quando
, os termos com
desaparecem no limite, restando a razão dos coeficientes líderes
(desde que
).
Passo 3
Aplicando a técnica: dividimos numerador e denominador por
. Faça isso termo a termo:
Numerador:
Denominador:
Logo a função pode ser reescrita como
Passo 4
Agora analisamos o comportamento dos termos com
no denominador quando
:
- Para qualquer potência positiva
vale quando .
Aplicando isso:
Portanto, no limite
os termos fracionários desaparecem.
Passo 5
Como o denominador da forma reescrita tende a
(valor não nulo), podemos tomar limite de numerador e denominador separadamente e então o quociente dos limites será o limite da razão. Assim:
Portanto o limite pedido é
.
Passo 6
Observação alternativa (regra rápida que cai bem na prova): para uma função racional onde o numerador e o denominador têm o mesmo grau (aqui ambos grau
), o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o coeficiente líder do numerador é
e do denominador é
, então o limite é
. Essa é uma consequência direta do processo de divisão por
mostrado acima.
Passo 7
Interpretação assintótica (parte b) — o que isso significa para o comportamento da função?
Dizer que
significa que, para
muito grande, os valores de
ficam próximos de
. Em termos geométricos, a reta horizontal
é uma assíntota horizontal da função para
.
Para ver a velocidade com que
se aproxima de
, calculemos
:
Desenvolvendo o numerador:
Portanto
Dividindo numerador e denominador por
ou observando ordens, para
grande o denominador cresce como
enquanto o numerador como
, logo
Isso mostra que a diferença para a assíntota decai aproximadamente como
(ou seja, tende a zero com taxa proporcional a
). Em palavras: não só
se aproxima de
, como a aproximação é relativamente rápida, com erro na ordem de
.
Passo 8
Resumo final (enfático e motivador): o limite é
, o que implica que
é a assíntota horizontal da função quando
; o desvio em relação a essa assíntota decai como
para
grande.
Resposta
(a)
\n
(b) tem assíntota horizontal
; além disso
quando
.
(b)