Determine o limite:
(a) Calcule o limite.
(b) Explique por que este limite diverge
ou
.
(b) Explique por que este limite diverge
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função racional
quando
tende a
:
(a) Calcular o limite
.
(b) Explicar por que esse limite diverge e em qual sentido (para
ou para
).
Informações dadas: a expressão algébrica
e a aproximação
. Não há outras restrições.
Passo 2
Observação qualitativa útil (vamos transformar a expressão para ficar claro o comportamento quando
é grande). Um truque padrão é dividir numerador e denominador por
(uma potência de
que não zere para
), para destacar os termos que ficam pequenos. Faço isso passo a passo.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Escrevo cada termo dividido por
:
Aqui só usei álgebra elementar: somas e divisões termo a termo por
.
Passo 4
Estudo o comportamento dos termos pequenos quando
. Sabemos que
Portanto, na expressão obtida em bloco,
os dois termos
e
ficam desprezivelmente pequenos quando
cresce muito.
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior, a expressão se aproxima de
quando
. Então o comportamento assintótico da função é o mesmo de
para
grande. Agora basta ver o limite de
quando
.
Passo 6
Calculo o limite simples:
pois
cresce sem limite à medida que
cresce (multiplicar por 4 só amplia a taxa de crescimento, não muda o fato de que diverge para
).
Para tornar a divergência totalmente clara de forma desigualdade: para
temos
e
, então
e
. Isso mostra que a expressão original cresce sem limite para
(e o sinal é positivo porque, para
, denominador e numerador são positivos).
Passo 7
Interpretação geral (regra prática que ajuda em provas): para uma razão de polinômios, se o grau do numerador é maior que o grau do denominador, a razão tende a
ou
conforme o sinal do produto dos coeficientes principais e do sinal de
. Aqui o grau do numerador é
, do denominador é
, a diferença é
, e o quociente dos coeficientes líderes é
, logo o comportamento é como
e, para
, isso dá
. Força aí — você já viu o truque que resolve rápido questões desse tipo!
Resposta
(a)
(b) Diverge para , porque ao dividir por
a expressão fica
, que se comporta como
quando
, e
.
(b) Diverge para