Determine o limite:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 x^{2}+1}{x-2}
(a) Calcule o limite.
(b) Explique por que este limite diverge (+\infty ou -\infty).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função racional
\frac{4x^{2}+1}{x-2}
quando x tende a +\infty:
(a) Calcular o limite \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^{2}+1}{x-2}.
(b) Explicar por que esse limite diverge e em qual sentido (para +\infty ou para -\infty).
Informações dadas: a expressão algébrica \frac{4x^{2}+1}{x-2} e a aproximação x\to +\infty. Não há outras restrições.

Passo 2

Observação qualitativa útil (vamos transformar a expressão para ficar claro o comportamento quando x é grande). Um truque padrão é dividir numerador e denominador por x (uma potência de x que não zere para x\to+\infty), para destacar os termos que ficam pequenos. Faço isso passo a passo.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x. Escrevo cada termo dividido por x:
\frac{4x^{2}+1}{x-2} =\frac{\dfrac{4x^{2}}{x}+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{x}-\dfrac{2}{x}} =\frac{4x+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}.
Aqui só usei álgebra elementar: somas e divisões termo a termo por x.

Passo 4

Estudo o comportamento dos termos pequenos quando x\to +\infty. Sabemos que
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to +\infty}\frac{2}{x}=0.
Portanto, na expressão obtida em bloco,
\frac{4x+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}},
os dois termos \dfrac{1}{x} e \dfrac{2}{x} ficam desprezivelmente pequenos quando x cresce muito.

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior, a expressão se aproxima de
\frac{4x+0}{1-0}=4x
quando x\to +\infty. Então o comportamento assintótico da função é o mesmo de 4x para x grande. Agora basta ver o limite de 4x quando x\to +\infty.

Passo 6

Calculo o limite simples:
\lim_{x\to +\infty}4x=+\infty,
pois 4x cresce sem limite à medida que x cresce (multiplicar por 4 só amplia a taxa de crescimento, não muda o fato de que diverge para +\infty).
Para tornar a divergência totalmente clara de forma desigualdade: para x>4 temos \dfrac{1}{x}\ge 0 e \dfrac{2}{x}\le \tfrac12, então
\frac{4x+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}\ge \frac{4x}{1/2}=8x,
e \lim_{x\to +\infty}8x=+\infty. Isso mostra que a expressão original cresce sem limite para +\infty (e o sinal é positivo porque, para x>2, denominador e numerador são positivos).

Passo 7

Interpretação geral (regra prática que ajuda em provas): para uma razão de polinômios, se o grau do numerador é maior que o grau do denominador, a razão tende a +\infty ou -\infty conforme o sinal do produto dos coeficientes principais e do sinal de x^{\text{diferença dos graus}}ç. Aqui o grau do numerador é 2, do denominador é 1, a diferença é 1, e o quociente dos coeficientes líderes é 4/1=4>0, logo o comportamento é como 4x e, para x\to+\infty, isso dá +\infty. Força aí — você já viu o truque que resolve rápido questões desse tipo!

Resposta

(a) +\infty
(b) Diverge para +\infty, porque ao dividir por x a expressão fica \dfrac{4x+\tfrac{1}{x}}{1-\tfrac{2}{x}}, que se comporta como 4x quando x\to+\infty, e 4x\to+\infty.

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