analise os limites a seguir.
lim x -infty raizx^2+x+1-2 x

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos calcular limxto -inftyl(raizx^2+x+1-2xr). O conteúdo aqui é limites no infinito envolvendo raiz quadrada, e vamos precisar usar a racionalização (multiplicar pela conjugada) para lidar com a diferença de termos que divergem.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos e dividimos por raizx^2+x+1+2x:
raizx^2+x+1-2x = (raizx^2+x+1-2x)(raizx^2+x+1+2x)raizx^2+x+1+2x = x^2+x+1 - 4x^2raizx^2+x+1+2x = -3x^2 + x +1raizx^2+x+1+2x

Passo 3

Agora vamos analisar o comportamento do denominador para xto -infty. Note que
raizx^2+x+1 = |x|raiz1 + tfrac1x + tfrac1x^2 = -xraiz1 + tfrac1x + tfrac1x^2,
pois x<0. Então
raizx^2+x+1 + 2x = -xraiz1 + tfrac1x + tfrac1x^2 + 2x = xl(2 - raiz1 + tfrac1x + tfrac1x^2r)

Passo 4

No numerador temos , que para grandes se comporta como (-3x^2). Assim, nosso quociente fica
Para , , logo o denominador asymptoticamente é .)

Passo 5

Portanto, assintoticamente
-3x^2 + x +1x(2 - raiz1 + tfrac1x + tfrac1x^2) sim -3x^2x = -3x Como xto -infty, temos -3x) to +infty.
Logo, o limite diverge para infinito positivo.

Resposta

+\infty

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