Exercício 1.9. Determine se as séries convergem ou divergem.
1+12^2+13^3+cdots+1n^n+cdots

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty1n^n
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas. Para resolver de forma direta, vamos usar o teste da raiz.

Passo 2

Seja an = 1/n^n. O teste da raiz diz que, se
L = limntoinftyraiz[n]|an|
existe e L<1, a série converge absolutamente. Calculamos
raiz[n]an = raiz[n]1n^n = 1n,
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L = limntoinfty1n = 0
Como 0<1, pela condição do teste da raiz a série converge absolutamente.

Passo 3

Concluímos que a série
sumn=1^infty1n^n
é convergente.

Resposta

A série converge.

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