Exercício 1.9. Determine se as séries convergem ou divergem.
21+2 cdot 51 cdot 5+cdots+2 cdot 5 cdot 8 cdots(3 n-1) cdots1 cdot 5 cdot 9 cdots(4 n-3) cdots+cdots

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty an com an = 2cdot5cdot8cdots(3n-1)1cdot5cdot9cdots(4n-3)
converge ou diverge.
O conteúdo é séries de termos gerais, e vamos usar o Teste da Razão para séries positivas.

Passo 2

Escrevemos an+1 em função de an. Note que
an+1 = 2cdot5cdot8cdots(3n-1),(3(n+1)-1)1cdot5cdot9cdots(4n-3),(4(n+1)-3) = an ,3n+24n+1
Logo, a razão dos termos consecutivos é
an+1an = 3n+24n+1

Passo 3

Calculamos o limite da razão quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinfty3n+24n+1 = 34

Passo 4

Como no Teste da Razão o valor
L = tfrac34 satisfaz L<1, concluímos que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (pelo Teste da Razão, pois o limite da razão é tfrac34<1).

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