Exercício 1.9. Determine se as séries convergem ou divergem.
21+(33)^2+(45)^3+cdots+(n+12 n-1)^n+cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
sumn=1^infty an em que an = l(n+12n-1r)^n
Queremos determinar se essa série converge ou diverge. Vamos usar o teste da raiz, que é indicado quando os termos envolvem potências em n.

Passo 2

O teste da raiz diz que, se
L = limntoinfty raiz[n]an
existe, então:
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Calculamos
L = limntoinfty raiz[n]an = limntoinfty l(n+12n-1r) = limntoinfty n(1+tfrac1n)n(2-tfrac1n) = 12

Passo 4

Como L = tfrac12 < 1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Logo, em particular, ela converge.

Resposta

A série converge (converge absolutamente pelo teste da raiz).

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