Analise a monotonicidade:
\left\{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}_{n=0}^{\infty}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a monotonicidade da sequência
a_n = 1 + \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n,\quad n=0,1,2,\dots
O conteúdo é estudo de sequências e critérios de monotonicidade, ou seja, comparar termos consecutivos para ver se a sequência cresce ou decresce.

Passo 2

Note que a parte \bigl(\tfrac12\bigr)^n é uma sequência geométrica com razão r=\tfrac12, e toda sequência geométrica com |r|<1 é estritamente decrescente e positiva. Logo
\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n+1} < \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n
para todo n\ge0.

Passo 3

Vamos comparar a_{n+1} com a_n:
a_{n+1} - a_n = \Bigl[1 + \bigl(\tfrac12\bigr)^{n+1}\Bigr] - \Bigl[1 + \bigl(\tfrac12\bigr)^n\Bigr] = \bigl(\tfrac12\bigr)^{n+1} - \bigl(\tfrac12\bigr)^n = \bigl(\tfrac12\bigr)^n\bigl(\tfrac12 - 1\bigr) = -\tfrac12\bigl(\tfrac12\bigr)^n.
Como \bigl(\tfrac12\bigr)^n>0, isso implica a_{n+1}-a_n<0, ou seja, a_{n+1}<a_n.

Passo 4

Concluímos que a sequência \{a_n\} é estritamente decrescente. Além disso, como \bigl(\tfrac12\bigr)^n>0, cada termo satisfaz a_n>1, de modo que a sequência é decrescente e limitada abaixo por 1.

Resposta

A sequência \{1+(\tfrac12)^n\}_{n=0}^\infty é estritamente decrescente.

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