Mostre se a sequência converge ou diverge. Se ela for convergente, mostre para que valor. \left\{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}_{n=0}^{\infty}
Passo 1
O enunciado nos pede para investigar a convergência da sequência
a_n = 1 + \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n,
ou seja, analisar se \{a_n\}_{n=0}^\infty converge e, em caso afirmativo, determinar seu limite. O conteúdo envolve limites de sequências e, em particular, o comportamento de uma sequência geométrica de razão \tfrac12.
Passo 2
Identificamos que a parte variável de a_n é
\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n,
que é uma sequência geométrica de razão r = \tfrac12.
Passo 3
Usamos o teorema de que, para uma sequência geométrica r^n, se |r|<1 então
\lim_{n \to \infty} r^n = 0.
Aqui |r| = \bigl|\tfrac12\bigr| = \tfrac12 < 1, logo