Mostre se a sequência converge ou diverge. Se ela for convergente, mostre para que valor.
\left\{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}_{n=0}^{\infty}

Passo 1

O enunciado nos pede para investigar a convergência da sequência
a_n = 1 + \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n,
ou seja, analisar se \{a_n\}_{n=0}^\infty converge e, em caso afirmativo, determinar seu limite. O conteúdo envolve limites de sequências e, em particular, o comportamento de uma sequência geométrica de razão \tfrac12.

Passo 2

Identificamos que a parte variável de a_n é
\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n,
que é uma sequência geométrica de razão r = \tfrac12.

Passo 3

Usamos o teorema de que, para uma sequência geométrica r^n, se |r|<1 então
\lim_{n \to \infty} r^n = 0.
Aqui |r| = \bigl|\tfrac12\bigr| = \tfrac12 < 1, logo
\lim_{n \to \infty} \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n = 0.

Passo 4

Aplicamos propriedades de limites à soma:
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \Bigl[1 + \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n\Bigr] = \lim_{n \to \infty} 1 \;+\; \lim_{n \to \infty} \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n = 1 + 0 = 1.

Passo 5

Concluímos que a sequência \{a_n\} converge e que seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge para 1.

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