Encontrar a derivada das funções dadas.
f(t)=\left(4 t^{2}-5 t+2\right)^{-1 / 3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(t)=(4t^{2}-5t+2)^{-1/3}. Este problema envolve a regra da cadeia, pois temos uma composição de uma função potência com um polinômio.

Passo 2

Definimos uma função interna e externa:
u(t)=4t^{2}-5t+2,
g(u)=u^{-1/3},
de modo que f(t)=g(u(t)). Essa separação facilita a aplicação da regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos a derivada da função externa g(u). Como g(u)=u^{-1/3}, pela regra do poder:
g'(u)=-\frac{1}{3}u^{-4/3}.

Passo 4

Calculamos a derivada da função interna u(t). Como u(t)=4t^{2}-5t+2, pela derivada de polinômio:
u'(t)=8t-5.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia:
f'(t)=g'(u(t))\cdot u'(t) =-\frac{1}{3}(4t^{2}-5t+2)^{-4/3}(8t-5).
Reorganizando o sinal, obtemos
f'(t)=\frac{5-8t}{3\,(4t^{2}-5t+2)^{4/3}}.

Resposta

f'(t)=\frac{5-8t}{3\,(4t^{2}-5t+2)^{4/3}}.

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