Mostre se a sequência converge ou diverge. Se ela for convergente, mostre para que valor.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
para
, e pede para determinar se
converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência e uso de identidades trigonométricas para simplificar o termo geral.
Passo 2
Usamos a identidade
válida para todo inteiro
. Logo podemos reescrever
Passo 3
Analisamos o limite da parte positiva
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Passo 4
Como
oscila entre
(quando
é par) e
(quando
é ímpar), o produto
tende, nas subsequências pares e ímpares, respectivamente, a
Esses dois limites são diferentes, o que impede a existência de um limite único para
.
Resposta
A sequência diverge, pois não há único limite (oscila entre
e
).