Mostre se a sequência converge ou diverge. Se ela for convergente, mostre para que valor.
\left\{\cos (\pi n)\left(\frac{2 n}{3 n+1}\right)\right\}_{n=0}^{\infty}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = \cos(\pi n)\,\Bigl(\frac{2n}{3n+1}\Bigr),
para n=0,1,2,\dots, e pede para determinar se \{a_n\} converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência e uso de identidades trigonométricas para simplificar o termo geral.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos(\pi n) = (-1)^n,
válida para todo inteiro n. Logo podemos reescrever
a_n = (-1)^n \,\frac{2n}{3n+1}.

Passo 3

Analisamos o limite da parte positiva
b_n = \frac{2n}{3n+1}.
Dividindo numerador e denominador por n obtemos
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{3 + 1/n} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Como (-1)^n oscila entre +1 (quando n é par) e -1 (quando n é ímpar), o produto
a_n = (-1)^n\,b_n
tende, nas subsequências pares e ímpares, respectivamente, a
\lim_{k\to\infty}a_{2k} = +1\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{3}, \quad \lim_{k\to\infty}a_{2k+1} = -1\cdot\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}.
Esses dois limites são diferentes, o que impede a existência de um limite único para a_n.

Resposta

A sequência diverge, pois não há único limite (oscila entre +\tfrac{2}{3} e -\tfrac{2}{3}).

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