Analise a monotonicidade:
\left\{\left(\frac{2 n}{3 n+1}\right)^{n}\right\}_{n=1}^{\infty}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_n = \Bigl(\frac{2n}{3n+1}\Bigr)^n
é crescente, decrescente ou não monotônica. O conteúdo principal aqui é usar monotonicidade de sequência positiva via comparação de a_{n+1} e a_n, o que fica mais fácil trabalhando com o logaritmo.

Passo 2

Definimos
\ell_n = \ln(a_n) = n\bigl[\ln(2n)-\ln(3n+1)\bigr]
e notamos que a_{n+1}<a_n se, e somente se, \ell_{n+1}<\ell_n. Assim basta mostrar que \{\ell_n\} é estritamente decrescente.

Passo 3

Para analisar \ell_n de forma contínua, consideramos a função
f(x) = x\bigl[\ln(2x)-\ln(3x+1)\bigr]
definida para x\ge1. Como \ell_n=f(n), basta ver o sinal de f'(x).

Passo 4

Calculamos
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[x\ln\frac{2x}{3x+1}\Bigr] =\ln\frac{2x}{3x+1}+x\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\ln\frac{2x}{3x+1}\Bigr).
Dentro de \frac{d}{dx}\ln\frac{2x}{3x+1} temos
\frac{d}{dx}\ln\frac{2x}{3x+1} =\frac{1}{x}-\frac{3}{3x+1},
então
f'(x) =\ln\frac{2x}{3x+1} +1-\frac{3x}{3x+1} =\ln\frac{2x}{3x+1}+\frac{1}{3x+1}.
Defina
h(x)=\ln\frac{2x}{3x+1}+\frac{1}{3x+1}.
Uma análise mostra que h'(x)>0 para todo x>0 e
\lim_{x\to\infty}h(x)=\ln\frac{2}{3}<0,
além de h(1)=\ln\frac12+\tfrac14<0. Logo h(x)<0 em [1,\infty), ou seja, f'(x)<0.

Passo 5

Como f'(x)<0 para todo x\ge1, f é estritamente decrescente em [1,\infty). Isso implica \ell_{n+1}<\ell_n e, portanto, a_{n+1}<a_n para todo n. Concluímos que \{a_n\} é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência \Bigl(\tfrac{2n}{3n+1}\Bigr)^n é estritamente decrescente.

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