Encontrar a derivada das funções dadas.
f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-\ln 2 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-\ln 2\,x}
Aqui estamos no conteúdo de derivada de função exponencial de base distinta de e e com expoente que é função de x. Vamos usar a regra
\frac{d}{dx}\bigl[b^{g(x)}\bigr] = b^{g(x)}\ln(b)\,g'(x).

Passo 2

Identificamos a base e o expoente-ondulação:
b = \tfrac12, \qquad g(x) = -\ln(2)\,x.

Passo 3

Calculamos a derivada de g(x):
g'(x) = -\ln(2).

Passo 4

Aplicando a fórmula da derivada de b^{g(x)}:
f'(x) = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-\ln 2\,x} \ln\!\Bigl(\tfrac12\Bigr) \;\cdot\;g'(x).

Passo 5

Substituímos \ln(\tfrac12)=-\ln2 e g'(x)=-\ln2:
f'(x) = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-\ln 2\,x} \bigl(-\ln2\bigr)\bigl(-\ln2\bigr) = (\ln2)^{2}\,\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-\ln 2\,x}.

Resposta

f'(x) = (\ln2)^{2}\,\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-\ln 2\,x}.

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