1. Use o teste da primeira derivada para classificar os pontos críticos de f(x)=x^4-8 x^2+3.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da primeira derivada a fim de classificar os pontos críticos de
f(x)=x^4-8x^2+3
O conteúdo é cálculo diferencial: precisamos calcular f'(x), encontrar onde ela se anula (pontos críticos) e estudar o sinal de f' antes e depois de cada ponto crítico para decidir se é mínimo, máximo ou ponto de inflexão.

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Usando a regra do poder,
f'(x)=ddxl(x^4r)-8ddxl(x^2r) =4x^3-16x
Fatorando, obtemos
f'(x)=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)

Passo 3

Os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0. Logo,
4x(x-2)(x+2)=0 Longrightarrow x=0,;x=2,;x=-2

Passo 4

Para aplicar o teste da primeira derivada, estudamos o sinal de f'(x) nos intervalos determinados por -infty,-2,0,2,infty:
1. Em x<-2, digamos x=-3:
f'(-3)=4cdot(-3)cdot(-5)cdot(-1)<0
2. Em -2<x<0, digamos x=-1:
f'(-1)=4cdot(-1)cdot(-3)cdot(1)>0
3. Em 0<x<2, digamos x=1:
f'(1)=4cdot1cdot(-1)cdot3<0
4. Em x>2, digamos x=3:
f'(3)=4cdot3cdot1cdot5>0

Passo 5

A partir das variações de sinal de f':
  • Em x=-2, f' vai de negativo para positivo to ponto de mínimo local.
  • Em x=0, f' vai de positivo para negativo to ponto de máximo local.
  • Em x=2, f' vai de negativo para positivo to ponto de mínimo local.
    Podemos também avaliar
f(0)=3, f(pm2)=(pm2)^4-8(pm2)^2+3=16-32+3=-13

Resposta

Em x=-2 e x=2 há mínimos locais (com f(-2)=f(2)=-13) e em x=0 há máximo local (com f(0)=3).

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