Analise a paridade das seguintes funções:
f(x)=a x+sin 2 x-7x cos x-x^7|x||sin x|;

Passo 1

O enunciado pede para determinar a paridade da função
f(x)=a x+sin2x-7xcos x-x^7|x|,|sin x|
O conteúdo usado será a definição de funções pares e ímpares e as propriedades de paridade sob soma e produto.

Passo 2

Definições e propriedades básicas:
– Uma função g é par se para todo x do domínio vale
g(-x)=g(x)
– Uma função g é ímpar se para todo x do domínio vale
g(-x)=-,g(x)
– Soma de pares é par, soma de ímpares é ímpar; soma de par com ímpar não é nem par nem ímpar.

Passo 3

Análise do termo a x:
(a x)(-x)=-a x=-l(a xr),
logo a x é ímpar (independente de a).

Passo 4

Análise do termo sin2x:
sinl(2(-x)r)=-sin2x,
portanto sin2x é ímpar.

Passo 5

Análise do termo -7xcos x: defina
h(x)=1xcos x
Como xcos x é ímpar (produto de x ímpar e cos x par), tem-se
h(-x)=1(-x)cos(-x)=-1xcos x=-h(x)
Logo h é ímpar e -7,h também é ímpar.

Passo 6

Análise do termo -x^7|x|,|sin x|:
x^7 é ímpar pois (-x)^7=-x^7.
|x| é par e |sin x| é par.
Produto de um fator ímpar por fatores pares é ímpar, e com o sinal negativo permanece ímpar.

Passo 7

Concluímos que todos os termos de f(x) são funções ímpares. A soma de funções ímpares é ímpar, logo
f(-x)=-,f(x)
para todo x em que f está definida.

Resposta

A função f é ímpar (para todo ainR).

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