Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dois quais será torcido de modo a formar um quadrado, e o outro, a formar uma circunferência. De que modo deverá ser cortado o fio para que a soma das áreas das regiões limitadas pelo quadrado e pela circunferência acima seja a maior possível?
Passo 1
Temos um arame de comprimento total
cm, que vamos cortar em dois pedaços: um de comprimento
cm para formar um quadrado e o outro de comprimento
cm para formar uma circunferência. O objetivo é escolher
de modo que a soma das áreas dessas duas figuras seja máxima. Para isso, usaremos otimização de funções (derivadas e teste de extremos em intervalo fechado).
Passo 2
Calculamos primeiro as duas áreas em função de
:
A parte para o quadrado tem perímetro , logo cada lado vale
e sua área é
A parte para o quadrado tem perímetro
A parte para a circunferência tem comprimento
, então o raio é
e a área é
Logo a soma das áreas é
Passo 3
Para encontrar extremos, derivamos
:
Igualando a zero,
Passo 4
Verificamos o caráter desse crítico com a segunda derivada:
ou seja,
é convexa e
é um ponto de mínimo. Como queremos o máximo no intervalo
, basta avaliar os extremos:
O maior valor é
.
Resposta
Para a soma das áreas ser máxima, não se deve destinar fio ao quadrado:
comprimento para o quadrado cm,
comprimento para a circunferência cm.
comprimento para o quadrado
comprimento para a circunferência