Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dois quais será torcido de modo a formar um quadrado, e o outro, a formar uma circunferência. De que modo deverá ser cortado o fio para que a soma das áreas das regiões limitadas pelo quadrado e pela circunferência acima seja a maior possível?

Passo 1

Temos um arame de comprimento total 10 cm, que vamos cortar em dois pedaços: um de comprimento x cm para formar um quadrado e o outro de comprimento 10 - x cm para formar uma circunferência. O objetivo é escolher x de modo que a soma das áreas dessas duas figuras seja máxima. Para isso, usaremos otimização de funções (derivadas e teste de extremos em intervalo fechado).

Passo 2

Calculamos primeiro as duas áreas em função de x:
A parte para o quadrado tem perímetro x, logo cada lado vale x/4 e sua área é
Arm quad(x)=l(tfracx4r)^2=x^216
A parte para a circunferência tem comprimento 10 - x, então o raio é
r=10 - x2pi
e a área é
Arm circ(x)=pi,r^2 =pil(10 - x2pir)^2 =(10 - x)^24pi
Logo a soma das áreas é
A(x)=x^216+(10 - x)^24pi, 0<= x<=10

Passo 3

Para encontrar extremos, derivamos A(x):
A'(x) =2x16 - 2(10 - x)4picdot(-1) =x8-10 - x2pi
Igualando a zero,
x8=10 - x2pi Longrightarrow x,(2pi+8)=80 Longrightarrow x^*=802pi+8=40pi+4

Passo 4

Verificamos o caráter desse crítico com a segunda derivada:
A''(x)=18+12pi>0,
ou seja, A é convexa e x^* é um ponto de mínimo. Como queremos o máximo no intervalo [0,10], basta avaliar os extremos:
A(0)=016+1004pi=25piapprox7,96, A(10)=10016+04pi=6,25
O maior valor é A(0).

Resposta

Para a soma das áreas ser máxima, não se deve destinar fio ao quadrado:
comprimento para o quadrado =0 cm,
comprimento para a circunferência =10 cm.

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