Mude de coordenadas cilíndricas para retangulares.
(2,-pi2, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter coordenadas de um sistema cilíndrico para o sistema retangular (também conhecido como cartesiano). O ponto que temos é (2, -pi2, 1). Para fazer essa conversão, vamos precisar conhecer as fórmulas que ligam esses dois sistemas de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas e retangulares. No sistema cilíndrico, um ponto é representado por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto em relação ao eixo z (ou seja, o raio),
  • theta é o ângulo em torno do eixo z, e
  • z é a altura do ponto.
No sistema retangular, o ponto é representado por (x, y, z), onde:
  • x e y são as coordenadas no plano horizontal, e
  • z é a mesma altura do sistema cilíndrico.
Para converter de cilíndrico para retangular, usamos as seguintes fórmulas:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)
z = z

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas fórmulas ao nosso ponto (2, -pi2, 1).
Primeiro, identificamos os valores:
  • r = 2
  • theta = -pi2
  • z = 1
Vamos calcular x e y usando as fórmulas:
x = 2 cdot cos(-pi2)
y = 2 cdot sin(-pi2)

Passo 4

Vamos lembrar dos valores de seno e cosseno para o ângulo -pi2. Sabemos que:
cos(-pi2) = 0
sin(-pi2) = -1
Agora, substituímos esses valores nas equações de x e y:
x = 2 cdot 0 = 0
y = 2 cdot (-1) = -2
O valor de z já permanece igual, que é 1.

Resposta

Portanto, as coordenadas retangulares do ponto são (0, -2, 1).

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