Analise o polinômio
. Utilize a Regra de Sinais de Descartes para inferir sobre o número de raízes reais positivas e negativas.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede, pela Regra de Sinais de Descartes, limitações para o número de raízes reais positivas e negativas. Vamos lembrar que:
- O número de raízes positivas (contadas com multiplicidade) é no máximo o número de variações de sinal nos coeficientes de
, podendo diminuir de 2 em 2. - O número de raízes negativas é obtido aplicando a regra a
.
Passo 2
Listamos os coeficientes de
, ignorando termos de coeficiente zero:
Agora contamos as variações de sinal entre termos consecutivos:
-
: não muda -
: 1ª variação -
: não muda -
: 2ª variação
Logo há 2 variações de sinal. Portanto o número de raízes reais positivas de
é no máximo 2, e pode ser também
. Concluímos:
Passo 3
Construímos
:
Os sinais dos coeficientes são
Contando as variações:
-
: 1ª variação -
: não muda -
: 2ª variação -
: 3ª variação
Há 3 variações de sinal, então o número de raízes reais negativas de
é no máximo 3, e pode ser também
. Concluímos:
Resposta
raízes positivas: 2 ou 0
raízes negativas: 3 ou 1
raízes negativas: 3 ou 1