Analise o polinômio Q(x)=x^{5}+3 x^{4}-x^{3}-7 x^{2}+6. Utilize a Regra de Sinais de Descartes para inferir sobre o número de raízes reais positivas e negativas.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
Q(x)=x^{5}+3x^{4}-x^{3}-7x^{2}+6
e pede, pela Regra de Sinais de Descartes, limitações para o número de raízes reais positivas e negativas. Vamos lembrar que:
  • O número de raízes positivas (contadas com multiplicidade) é no máximo o número de variações de sinal nos coeficientes de Q(x), podendo diminuir de 2 em 2.
  • O número de raízes negativas é obtido aplicando a regra a Q(-x).

Passo 2

Listamos os coeficientes de Q(x), ignorando termos de coeficiente zero:
+,\, +,\, -,\, -,\, +.
Agora contamos as variações de sinal entre termos consecutivos:
  1. +\to+: não muda
  2. +\to-: 1ª variação
  3. -\to-: não muda
  4. -\to+: 2ª variação
Logo há 2 variações de sinal. Portanto o número de raízes reais positivas de Q é no máximo 2, e pode ser também 2-2=0. Concluímos:
\text{raízes positivas: }2\text{ ou }0.í

Passo 3

Construímos Q(-x):
Q(-x) = (-x)^{5} +3(-x)^{4} -(-x)^{3} -7(-x)^{2} +6 = -x^{5} +3x^{4} +x^{3} -7x^{2} +6.
Os sinais dos coeficientes são
-,\, +,\, +,\, -,\, +.
Contando as variações:
  1. -\to+: 1ª variação
  2. +\to+: não muda
  3. +\to-: 2ª variação
  4. -\to+: 3ª variação
Há 3 variações de sinal, então o número de raízes reais negativas de Q é no máximo 3, e pode ser também 3-2=1. Concluímos:
\text{raízes negativas: }3\text{ ou }1.í

Resposta

raízes positivas: 2 ou 0
raízes negativas: 3 ou 1

Exercícios relacionados