Dado o polinômio R(x)=x^{6}-3 x^{5}+2 x^{4}-x^{2}+10, qual é o número máximo de raízes reais positivas e negativas que ele pode possuir?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o polinômio \,R(x)=x^6-3x^5+2x^4-x^2+10 e precisamos achar o número máximo de raízes reais positivas e negativas. O método que vamos usar é a regra de Descartes para mudança de sinal nos coeficientes.

Passo 2

Para estimar o número de raízes positivas, listamos os sinais dos coeficientes não nulos de \,R(x) em ordem decrescente de grau:
+,\;-,\;+,\;-,\;+
As variações de sinal ocorrem em cada transição de + para -, de - para +, de + para - e de - para +, totalizando 4 variações. Assim, o número máximo de raízes positivas é 4 (podendo diminuir de 2 em 2).

Passo 3

Para as raízes negativas, consideramos
R(-x)=(-x)^6-3(-x)^5+2(-x)^4-(-x)^2+10 = x^6+3x^5+2x^4-x^2+10.
A sequência de sinais dos coeficientes não nulos é
+,\;+,\;+,\;-,\;+
Aqui ocorrem variações de + para - e de - para +, totalizando 2 variações. Logo, o número máximo de raízes negativas é 2.

Resposta

No máximo 4 raízes reais positivas e 2 raízes reais negativas.

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