Para o polinômio P(x)=x^{4}-2 x^{3}+5 x^{2}-4 x+1, determine o número máximo possível de raízes reais positivas e o número máximo possível de raízes reais negativas.

Passo 1

O enunciado pede para o polinômio P(x)=x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+1 o número máximo possível de raízes reais positivas e o número máximo possível de raízes reais negativas. Vamos usar a Regra de Sinais de Descartes para isso.

Passo 2

Para as raízes reais positivas, consideramos P(x) e contamos quantas vezes os coeficientes mudam de sinal em sequência:
P(x)=\underbrace{+\,1}_{x^4},\;\underbrace{-\,2}_{x^3},\;\underbrace{+\,5}_{x^2},\;\underbrace{-\,4}_{x},\;\underbrace{+\,1}_{\text{constante}}.
As mudanças de sinal são:
+ \to -,\quad - \to +,\quad + \to -,\quad - \to +,
totalizando 4 mudanças. Pela Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é no máximo igual a esse número de mudanças, ou seja, 4 (podendo também diminuir de 2 em 2, mas o máximo é 4).

Passo 3

Para as raízes reais negativas, formamos P(-x):
P(-x)=(-x)^{4}-2(-x)^{3}+5(-x)^{2}-4(-x)+1 =x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+4x+1.
Os sinais dos coeficientes são todos positivos:
+\,1,\;+\,2,\;+\,5,\;+\,4,\;+\,1,
logo não há nenhuma mudança de sinal. Assim, pelo mesmo critério, o número máximo de raízes reais negativas é 0.

Resposta

Máximo de raízes reais positivas: 4
Máximo de raízes reais negativas: 0

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