Para o polinômio P(x)=x^{4}-2 x^{3}+5 x^{2}-4 x+1, determine o número máximo possível de raízes reais positivas e o número máximo possível de raízes reais negativas.
Passo 1
O enunciado pede para o polinômio P(x)=x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+1 o número máximo possível de raízes reais positivas e o número máximo possível de raízes reais negativas. Vamos usar a Regra de Sinais de Descartes para isso.
Passo 2
Para as raízes reais positivas, consideramos P(x) e contamos quantas vezes os coeficientes mudam de sinal em sequência: P(x)=\underbrace{+\,1}_{x^4},\;\underbrace{-\,2}_{x^3},\;\underbrace{+\,5}_{x^2},\;\underbrace{-\,4}_{x},\;\underbrace{+\,1}_{\text{constante}}.
As mudanças de sinal são:
totalizando 4 mudanças. Pela Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é no máximo igual a esse número de mudanças, ou seja, 4 (podendo também diminuir de 2 em 2, mas o máximo é 4).