Se o polinômio
possui uma raiz complexa
, o que a Regra de Sinais de Descartes pode nos dizer sobre as outras raízes? Quantas raízes reais positivas e negativas ele pode ter?
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que uma das raízes é o número complexo
. Como os coeficientes de
são reais, isso implica que
também é raiz. Vamos usar a Regra de Sinais de Descartes para descobrir quantas raízes reais positivas e negativas
pode ter.
Passo 2
Para contar as raízes reais positivas, observamos as variações de sinal nos coeficientes de
:
os sinais são .
Há exatamente 3 mudanças de sinal, portanto, pela Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é
os sinais são
Há exatamente 3 mudanças de sinal, portanto, pela Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é
Passo 3
Para as raízes reais negativas, aplicamos a Regra de Descartes a
.
Calculamos
Calculamos
cuja sequência de sinais é
.
Não há mudança de sinal, logo
Não há mudança de sinal, logo
Passo 4
Como já sabemos que duas raízes são o par complexo
e
, resta apenas uma raiz real. Das possibilidades de raízes positivas
, só faz sentido ter exatamente 1, pois não há como ter 3 reais positivas quando duas são não reais.
Resposta
O polinômio
tem exatamente uma raiz real positiva e nenhuma negativa; as duas outras raízes formam o par complexo conjugado.