Se o polinômio S(x)=2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-1 possui uma raiz complexa a+b i, o que a Regra de Sinais de Descartes pode nos dizer sobre as outras raízes? Quantas raízes reais positivas e negativas ele pode ter?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
S(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x-1
e informa que uma das raízes é o número complexo a+bi. Como os coeficientes de S são reais, isso implica que a-bi também é raiz. Vamos usar a Regra de Sinais de Descartes para descobrir quantas raízes reais positivas e negativas S pode ter.

Passo 2

Para contar as raízes reais positivas, observamos as variações de sinal nos coeficientes de S(x):
os sinais são +,\,-,\,+,\,-.
Há exatamente 3 mudanças de sinal, portanto, pela Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é
V_+ = 3 \quad\Longrightarrow\quad \text{raízes positivas} = 3 \text{ ou } 1.í

Passo 3

Para as raízes reais negativas, aplicamos a Regra de Descartes a S(-x).
Calculamos
S(-x)=2(-x)^{3}-3(-x)^{2}+4(-x)-1=-2x^{3}-3x^{2}-4x-1,
cuja sequência de sinais é -,-,-,-.
Não há mudança de sinal, logo
V_- = 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{raízes negativas} = 0.í

Passo 4

Como já sabemos que duas raízes são o par complexo \,a+bi e \,a-bi, resta apenas uma raiz real. Das possibilidades de raízes positivas \{3,1\}, só faz sentido ter exatamente 1, pois não há como ter 3 reais positivas quando duas são não reais.

Resposta

O polinômio S(x) tem exatamente uma raiz real positiva e nenhuma negativa; as duas outras raízes formam o par complexo conjugado.

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