1. Dado o polinômio P(x)=x^{3}-x^{2}-x-1, verifique se x=2 é uma raiz exata utilizando o Algoritmo de Briot-Ruffini. Em caso negativo, use o resultado da divisão para iniciar uma iteração do método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz próxima a x=2. Tome x_{0}=2.

Passo 1

Resumindo: temos o polinômio P(x)=x^{3}-x^{2}-x-1. Primeiro vamos verificar se x=2 é raiz exata usando o Algoritmo de Briot-Ruffini; como não for, usaremos o resultado da divisão para iniciar uma iteração do método de Newton-Raphson com x_{0}=2.

Passo 2

Aplicamos Briot-Ruffini com a=2 aos coeficientes 1,-1,-1,-1. Trazendo o 1 para baixo e repetindo:
2\cdot1=2, somando a -1 1.
2\cdot1=2, somando a -1 1.
2\cdot1=2, somando a -1 dá resto 1.
Logo, o quociente é x^{2}+x+1 e o resto é 1. Como o resto é \neq0, concluímos que x=2 não é raiz exata de P(x).

Passo 3

Para aproximar uma raiz, usamos Newton-Raphson:
x_{n+1} = x_{n} - \frac{P(x_{n})}{P'(x_{n})},
onde P'(x)=3x^{2}-2x-1. Com x_{0}=2, calculamos
P(2)=2^{3}-2^{2}-2-1=1,
P'(2)=3\cdot2^{2}-2\cdot2-1=7,
então
x_{1} = 2 - \frac{1}{7} = \frac{13}{7} \approx 1{,}857142857.

Resposta

x=2 não é raiz exata de P(x).
Quociente da divisão sintética: x^{2}+x+1, resto 1.
Primeira iteração de Newton-Raphson com x_{0}=2:
x_{1} = \frac{13}{7} \approx 1{,}857142857.

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