Analise os pontos críticos de:
(e) f(x)=x^1 / 3+2 x^4 / 3

Passo 1

Beleza, vamos analisar os pontos críticos da função f(x) = x^1/3 + 2x^4/3 . Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos usar a derivada, que é uma ferramenta da Cálculo Diferencial que nos ajuda a entender como a função está mudando.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f(x) . Usamos a regra do poder para derivar cada termo:
f'(x) = ddx(x^1/3) + ddx(2x^4/3)
A derivada de x^n é n x^n-1 , então:
f'(x) = 13x^-2/3 + 2 cdot 43x^1/3 = 13x^-2/3 + 83x^1/3

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde essa derivada é zero ou não existe. Primeiro, identificamos onde f'(x) não existe. Observando f'(x) , vemos que quando x = 0 , temos termos com x^-2/3 , que não estão definidos. Então, x = 0 é um ponto crítico.

Passo 4

Em seguida, vamos resolver f'(x) = 0 :
13x^-2/3 + 83x^1/3 = 0
Multiplicando todos os termos por 3x^2/3 para eliminar os expoentes negativos:
1 + 8x = 0 implies 8x = -1 implies x = -18
Então, x = -18 também é um ponto crítico.

Resposta

Os pontos críticos da função f(x) = x^1/3 + 2x^4/3 são x = 0 e x = -18 .

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