A taxa de crescimento
de um tumor está relacionada com seu tamanho
pela seguinte equação:
, onde
e
são constantes positivas. Mostre que o tumor cresce mais rapidamente quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a taxa de crescimento
de um tumor em função do seu tamanho
, dada pela equação:
Aqui,
e
são constantes positivas. Nosso objetivo é mostrar que o tumor cresce mais rapidamente quando
. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde essa taxa de crescimento atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada nos ajuda a entender como
muda conforme
muda. Vamos derivar a função
.
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, para encontrar o ponto onde
é máximo, precisamos igualar a derivada a zero e resolver para
:
Como
é uma constante positiva, podemos dividir ambos os lados por
sem alterar a equação:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação
para encontrar
:
Resposta
O tumor cresce mais rapidamente quando o seu tamanho é
.