A taxa de crescimento R de um tumor está relacionada com seu tamanho x pela seguinte equação: R=r x ln Kx, onde r e K são constantes positivas. Mostre que o tumor cresce mais rapidamente quando x=Ke.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a taxa de crescimento R de um tumor em função do seu tamanho x , dada pela equação:
R = r cdot x cdot ln(Kx)
Aqui, r e K são constantes positivas. Nosso objetivo é mostrar que o tumor cresce mais rapidamente quando x = Ke . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde essa taxa de crescimento atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de R em relação a x , ou seja, dRdx . A derivada nos ajuda a entender como R muda conforme x muda. Vamos derivar a função R = r cdot x cdot ln(Kx) .
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
dRdx = r cdot [ ln(Kx) + x cdot ddx(ln(Kx)) ]
Sabemos que ddx ln(Kx) = -1x , então:
dRdx = r cdot [ ln(Kx) - 1 ]

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto onde R é máximo, precisamos igualar a derivada a zero e resolver para x :
dRdx = 0 Rightarrow r cdot [ ln(Kx) - 1 ] = 0
Como r é uma constante positiva, podemos dividir ambos os lados por r sem alterar a equação:
ln(Kx) - 1 = 0
ln(Kx) = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação ln(Kx) = 1 para encontrar x :
ln(Kx) = 1 Rightarrow Kx = e^1 = e
Kx = e Rightarrow x = Ke

Resposta

O tumor cresce mais rapidamente quando o seu tamanho é x = Ke .

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