Analise os pontos críticos de:
(g) f(x)=4 x+1x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x)=4x+1x
O conteúdo envolvido é derivação de funções e teste da segunda derivada para classificar extremos. Vamos primeiro determinar o domínio, depois f'(x) e resolver f'(x)=0, em seguida usar f''(x) para ver se é mínimo ou máximo.

Passo 2

O domínio de f é todos os xneq0. Calculando a primeira derivada:
f'(x)=ddxl(4x + x^-1r) =4 - x^-2 =4 - 1x^2

Passo 3

Para achar pontos críticos resolvemos
4 - 1x^2=0 Longrightarrow 1x^2=4 Longrightarrow x^2=14 Longrightarrow x=pm12
Não há outros pontos críticos, pois f'(x) só deixa de existir em x=0, fora do domínio.

Passo 4

Para classificar cada ponto usamos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(4 - x^-2r) =2x^-3 =2x^3
Em x=tfrac12:
f''l(tfrac12r)=2(tfrac12)^3=16>0
logo há mínimo local em x=tfrac12.
Em x=-tfrac12:
f''l(-tfrac12r)=2(-tfrac12)^3=-16<0
logo há máximo local em x=-tfrac12.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
x=-tfrac12 é ponto de máximo local com f(-tfrac12)=-4.
x=+tfrac12 é ponto de mínimo local com f(tfrac12)=4.

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