Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergência de séries numéricas. .
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
Vamos usar o Teste de Leibniz (séries alternantes) para verificar convergência, e em seguida o Teste de Convergência Absoluta por comparação assintótica com a série harmônica.
Passo 2
Defina . Para aplicar o Teste de Leibniz, precisamos mostrar que:
para todo .
é decrescente para .
.
É claro que e , logo .
Compare :
Logo, e a sequência é decrescente.
3.
Portanto, todos os requisitos do Teste de Leibniz estão satisfeitos e a série alternante converge.