Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergência de séries numéricas.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+1
Vamos usar o Teste de Leibniz (séries alternantes) para verificar convergência, e em seguida o Teste de Convergência Absoluta por comparação assintótica com a série harmônica.

Passo 2

Defina an=n^2n^3+1. Para aplicar o Teste de Leibniz, precisamos mostrar que:
  1. an>0 para todo n.
  2. (an) é decrescente para n>=1.
  3. limntoinftyan=0.
  4. É claro que n^2>0 e n^3+1>0, logo an>0.
  5. Compare tfracan+1an:
an+1an =(n+1)^2(n+1)^3+1n^2n^3+1 =(n+1)^2(n^3+1)n^2l((n+1)^3+1r) sim (n+1)^2n^3n^2(n+1)^3 =nn+1<1 (para todo n>=1)
Logo, an+1<an e a sequência é decrescente.
3.
limntoinftyan =limntoinftyn^2n^3+1 =limntoinfty1n+tfrac1n^2 =0
Portanto, todos os requisitos do Teste de Leibniz estão satisfeitos e a série alternante converge.

Passo 3

Agora verificamos convergência absoluta analisando
sumn=1^inftyl|(-1)^n+1tfracn^2n^3+1r| =sumn=1^inftyn^2n^3+1
Para n grande temos tfracn^2n^3+1simtfrac1n. Use o teste da comparação-limite com a série harmônica sum 1/n:
limntoinftyn^2n^3+11n =limntoinftyn^3n^3+1 =1(finito e >0)
Como sum1/n diverge, conclui-se que sum n^2/(n^3+1) também diverge. Logo a série não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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