Analise os pontos críticos de:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza! Vamos analisar os pontos críticos da função
. Ponto crítico é onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Para isso, vamos usar Derivadas, que é parte do Cálculo Diferencial. Precisamos calcular a derivada de
, igualá-la a zero e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos dá a taxa de variação da função. Usamos a regra do poder para derivar cada termo:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando a derivada a zero:
Podemos fatorar a equação para facilitar:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
⇒ -
Passo 4
Resolvendo a segunda equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos
.
Passo 5
Os pontos críticos são os valores de
que encontramos:
e
. Para saber se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, vamos usar a segunda derivada.
Passo 6
Primeiro, calculamos a segunda derivada
:
Passo 7
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, o ponto
é um mínimo local.
- Para
:
Como
, a segunda derivada não nos dá informação. Precisamos analisar a derivada primeira ao redor de
ou usar outros métodos para determinar a natureza do ponto.
Passo 8
Vamos analisar a derivada primeira em torno de
:
- Para
(por exemplo, ):
- Para
(por exemplo, ):
Como a derivada primeira é positiva tanto antes quanto depois de
, não há mudança de sinal, indicando que
é um ponto de inflexão.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
: mínimo local. -
: ponto de inflexão.