Analise os pontos críticos de:
(d) f(x)=3 x^4-8 x^3+6 x^2-1

Passo 1

Beleza! Vamos analisar os pontos críticos da função f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 1 . Ponto crítico é onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Para isso, vamos usar Derivadas, que é parte do Cálculo Diferencial. Precisamos calcular a derivada de f(x) , igualá-la a zero e resolver para x .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f(x) . A derivada nos dá a taxa de variação da função. Usamos a regra do poder para derivar cada termo:
f'(x) = ddx(3x^4) - ddx(8x^3) + ddx(6x^2) - ddx(1)
Calculando cada termo:
f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando a derivada a zero:
12x^3 - 24x^2 + 12x = 0
Podemos fatorar a equação para facilitar:
12x(x^2 - 2x + 1) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 12x = 0 x = 0
  2. x^2 - 2x + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a segunda equação:
x^2 - 2x + 1 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(−2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 42 = 2 pm 02 = 1
Então, temos x = 1 .

Passo 5

Os pontos críticos são os valores de x que encontramos: x = 0 e x = 1 . Para saber se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, vamos usar a segunda derivada.

Passo 6

Primeiro, calculamos a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx(12x^3 - 24x^2 + 12x) = 36x^2 - 48x + 12

Passo 7

Agora, avaliamos f''(x) nos pontos críticos:
  1. Para x = 0 :
f''(0) = 36(0)^2 - 48(0) + 12 = 12 > 0
Como f''(0) > 0 , o ponto x = 0 é um mínimo local.
  1. Para x = 1 :
f''(1) = 36(1)^2 - 48(1) + 12 = 36 - 48 + 12 = 0
Como f''(1) = 0 , a segunda derivada não nos dá informação. Precisamos analisar a derivada primeira ao redor de x = 1 ou usar outros métodos para determinar a natureza do ponto.

Passo 8

Vamos analisar a derivada primeira em torno de x = 1 :
  • Para x < 1 (por exemplo, x = 0.5 ):
f'(0.5) = 12(0.5)^3 - 24(0.5)^2 + 12(0.5) = 12(0.125) - 24(0.25) + 6 = 1.5 - 6 + 6 = 1.5 > 0
  • Para x > 1 (por exemplo, x = 1.5 ):
f'(1.5) = 12(1.5)^3 - 24(1.5)^2 + 12(1.5) = 12(3.375) - 24(2.25) + 18 = 40.5 - 54 + 18 = 4.5 > 0
Como a derivada primeira é positiva tanto antes quanto depois de x = 1 , não há mudança de sinal, indicando que x = 1 é um ponto de inflexão.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • x = 0 : mínimo local.
  • x = 1 : ponto de inflexão.

Exercícios relacionados