Uma caixa com tampa deve ser construída com base quadrada e área total constante
. Determine os lados da caixa de modo que seu volume seja máximo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa com tampa que tem a base quadrada e a área total dela é sempre
. A missão aqui é descobrir qual o tamanho dos lados da caixa que vai fazer o volume dela ser o maior possível. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria e otimização, aplicando algumas fórmulas matemáticas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar. Vamos chamar de
o comprimento de cada lado da base quadrada da caixa e de
a altura da caixa. Então, a base tem área
e as laterais são quadrados de área
cada.
Passo 3
Agora, vamos expressar a área total da caixa. A caixa tem uma base, quatro lados e uma tampa. A área total (
) é a soma dessas áreas:
Simplificando isso, precisamos que a área total seja igual a
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da área total. Somando as áreas das partes da caixa:
Essa é a nossa equação de restrição que vamos usar para encontrar a relação entre
e
.
Passo 5
Queremos maximizar o volume da caixa. O volume (
) de uma caixa é dado pela área da base vezes a altura:
Mas queremos expressar
apenas em termos de uma variável. Da equação de restrição, podemos isolar
:
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, derivamos a função
em relação a
e igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Agora, encontramos
usando a relação que obtivemos anteriormente:
Resposta
Os lados da base da caixa devem medir
e a altura também deve ser
para que o volume seja máximo.