Uma caixa com tampa deve ser construída com base quadrada e área total constante 216 cm^2. Determine os lados da caixa de modo que seu volume seja máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa com tampa que tem a base quadrada e a área total dela é sempre 216 cm^2. A missão aqui é descobrir qual o tamanho dos lados da caixa que vai fazer o volume dela ser o maior possível. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria e otimização, aplicando algumas fórmulas matemáticas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar. Vamos chamar de x o comprimento de cada lado da base quadrada da caixa e de h a altura da caixa. Então, a base tem área x^2 e as laterais são quadrados de área x times h cada.

Passo 3

Agora, vamos expressar a área total da caixa. A caixa tem uma base, quatro lados e uma tampa. A área total ( Atotal) é a soma dessas áreas:
Atotal = x^2 + 4(x times h) + x^2
Simplificando isso, precisamos que a área total seja igual a 216 cm^2.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da área total. Somando as áreas das partes da caixa:
Atotal = 2x^2 + 4xh = 216
Essa é a nossa equação de restrição que vamos usar para encontrar a relação entre x e h.

Passo 5

Queremos maximizar o volume da caixa. O volume ( V) de uma caixa é dado pela área da base vezes a altura:
V = x^2 times h
Mas queremos expressar V apenas em termos de uma variável. Da equação de restrição, podemos isolar h:
2x^2 + 4xh = 216 4xh = 216 - 2x^2 h = 216 - 2x^24x h = 108 - x^22x
Agora, substituímos h na fórmula do volume:
V = x^2 times ( 108 - x^22x ) = x(108 - x^2)2 = 54x - x^32

Passo 6

Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, derivamos a função V em relação a x e igualamos a derivada a zero:
dVdx = 54 - 3x^22 = 0
Resolvendo para x:
54 - 3x^22 = 0 3x^22 = 54 x^2 = 54 times 23 = 36 x = raiz36 = 6 cm
Agora, encontramos h usando a relação que obtivemos anteriormente:
h = 108 - x^22x = 108 - 3612 = 7212 = 6 cm

Resposta

Os lados da base da caixa devem medir 6 cm e a altura também deve ser 6 cm para que o volume seja máximo.

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