Analise os pontos críticos de:
(h) f(x)=2 raizx-x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x) = 2raizx - x
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas para identificar pontos onde f'(x)=0 ou f' não existe, e depois usar a segunda derivada ou o comportamento da primeira para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Determinamos o domínio de f: como aparece raizx, temos x>=0. Para x>0, calculamos
f'(x) = ddxl(2x^1/2r) - ddx(x) = 2cdot12x^-1/2 - 1 = 1raizx - 1
Em x=0 a derivada não existe dentro do domínio.

Passo 3

Identificamos pontos críticos em que f'(x)=0 ou f' não existe:
  1. Resolver 1raizx - 1=0 em x>0: 1raizx = 1 ,;Longrightarrow; raizx=1 ,;Longrightarrow; x=1
  2. No extremo esquerdo do domínio, x=0, a derivada não existe mas é ponto de fronteira que deve ser testado.

Passo 4

Para classificar x=1, usamos a segunda derivada em x>0:
f''(x) = ddxl(x^-1/2 - 1r) = -tfrac12 x^-3/2
Em x=1 vale
f''(1) = -tfrac12 <0,
o que indica que x=1 é ponto de máximo local.

Passo 5

Para classificar x=0, examinamos o sinal de f'(x) para x>0 pequeno:
f'(x) = 1raizx -1 >0 quando 0<x<1
Isso mostra que f cresce ao sair de x=0, logo x=0 é um mínimo local.

Passo 6

Calculamos os valores da função:
f(0) = 2raiz0 - 0 = 0, f(1) = 2cdot1 - 1 = 1
Como limxto+inftyf(x)=-infty, concluímos que:
  • x=1 é máximo local e também máximo global de valor f(1)=1.
  • x=0 é mínimo local de valor f(0)=0.
  • Não há mínimo global pois f(x)to-infty quando xtoinfty.

Resposta

Pontos críticos:
x=0 (mínimo local, f(0)=0);
x=1 (máximo local e global, f(1)=1).

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