Você é um engenheiro encarregado de estudar o crescimento populacional de uma colônia de bactérias em um ambiente controlado. Sabe-se que o crescimento populacional das bactérias segue uma sequência numérica que se assemelha à sequência de Fibonacci. Inicialmente, a colônia possui 1 bactéria. A cada dia, cada bactéria existente gera uma nova bactéria, e uma bactéria recém-nascida só se torna capaz de reproduzir após 5 dias de vida. As bactérias não morrem ao longo do tempo.
Determine a razão de crescimento populacional de um dia para o próximo, ou seja, a razão entre a população do dia n+1 e a população do dia n.

Passo 1

O enunciado pede a razão de crescimento diário de uma colônia em que cada bactéria gera uma nova bactéria por dia, mas só começa a reproduzir após 5 dias de vida. Vamos modelar isso como uma sequência an onde an é a população no dia n. O conteúdo é de recorrência linear com atraso e análise de razão de recorrência.

Passo 2

Como uma bactéria nasce num dia e só passa a reproduzir depois de 5 dias, as novas bactérias no dia n vêm apenas das que nasceram até o dia n-6. Portanto, para n>=6 temos
an = an-1 + an-6,
com condições iniciais
a0=1, a1=a2=a3=a4=a5=1,
pois até o dia 5 não há reprodução.

Passo 3

Definimos a razão de crescimento diária
rn = an+1an
Da recorrência, para n>=5,
an+1 = an + an-5 Longrightarrow rn = 1 + an-5an

Passo 4

Se a população cresce de modo assintoticamente exponencial, a razão rn tende a um limite L. No limite an-5/anto 1/L^5, de modo que
L = 1 + 1L^5 Longrightarrow L^6 - L^5 - 1 = 0

Passo 5

Para achar numericamente o valor de L positivo, fazemos tentativa e erro:
tentar L=1,28 L^6 - L^5 -1approx -0,04,
tentar L=1,285 L^6 - L^5 -1approx 0,002.
Logo, a raiz real dominante é
Lapprox 1,285

Resposta

A razão de crescimento populacional diária tende a L, que é a raiz real de
L^6 - L^5 - 1 = 0,
e numericamente
an+1an;xrightarrow[ntoinfty];Lapprox 1,285

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