Você é um engenheiro encarregado de estudar o crescimento populacional de uma colônia de bactérias em um ambiente controlado. Sabe-se que o crescimento populacional das bactérias segue uma sequência numérica que se assemelha à sequência de Fibonacci. Inicialmente, a colônia possui 1 bactéria. A cada dia, cada bactéria existente gera uma nova bactéria, e uma bactéria recém-nascida só se torna capaz de reproduzir após 5 dias de vida. As bactérias não morrem ao longo do tempo.
Determine a razão de crescimento populacional de um dia para o próximo, ou seja, a razão entre a população do dia
e a população do dia
.
Determine a razão de crescimento populacional de um dia para o próximo, ou seja, a razão entre a população do dia
Passo 1
O enunciado pede a razão de crescimento diário de uma colônia em que cada bactéria gera uma nova bactéria por dia, mas só começa a reproduzir após
dias de vida. Vamos modelar isso como uma sequência
onde
é a população no dia
. O conteúdo é de recorrência linear com atraso e análise de razão de recorrência.
Passo 2
Como uma bactéria nasce num dia e só passa a reproduzir depois de
dias, as novas bactérias no dia
vêm apenas das que nasceram até o dia
. Portanto, para
temos
com condições iniciais
pois até o dia
não há reprodução.
Passo 3
Definimos a razão de crescimento diária
Da recorrência, para
,
Passo 4
Se a população cresce de modo assintoticamente exponencial, a razão
tende a um limite
. No limite
, de modo que
Passo 5
Para achar numericamente o valor de
positivo, fazemos tentativa e erro:
tentar dá
,
tentar dá
.
Logo, a raiz real dominante é
tentar
tentar
Logo, a raiz real dominante é
Resposta
A razão de crescimento populacional diária tende a
, que é a raiz real de
e numericamente