A demanda de certo artigo é dada por p=(12-q)^1 / 2 para 0 <= q <= 12, onde q é a quantidade demandada e p, o preço por unidade. Determine o preço e a quantidade para os quais a receita é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a demanda de um produto, onde o preço por unidade é dado por p = raiz12 - q para 0 <= q <= 12 . Nosso objetivo aqui é descobrir qual quantidade q e preço p vão fazer com que a receita total seja a maior possível. Para isso, vamos precisar entender como calcular a receita e usar um pouco de cálculo para otimizar essa receita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a receita total ( R ) é calculada multiplicando o preço pela quantidade vendida. Ou seja:
R = p times q
Como já temos uma equação para o preço ( p = raiz12 - q ), podemos substituir essa expressão na fórmula da receita:
R = q times raiz12 - q

Passo 3

Agora, para encontrar o valor de q que maximiza a receita, precisamos derivar a função R em relação a q e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Vamos calcular a derivada de R :
R(q) = q times (12 - q)^1/2
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, a derivada fica:
dRdq = (12 - q)^1/2 + q times 12(12 - q)^-1/2 times (-1)
Simplificando:
dRdq = raiz12 - q - q2raiz12 - q

Passo 4

Vamos igualar a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
raiz12 - q - q2raiz12 - q = 0
Multiplicando todos os termos por 2raiz12 - q para eliminar o denominador:
2(12 - q) - q = 0
24 - 2q - q = 0
24 - 3q = 0
3q = 24
q = 8
Então, a quantidade que maximiza a receita é q = 8 .

Passo 5

Agora que sabemos que q = 8 , vamos encontrar o preço correspondente usando a equação da demanda:
p = raiz12 - q
Substituindo q = 8 :
p = raiz12 - 8
p = raiz4
p = 2
Então, o preço que maximiza a receita é p = 2 .

Resposta

A receita máxima ocorre quando a quantidade vendida é 8 unidades e o preço por unidade é 2 reais.

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