A demanda de certo artigo é dada por
para
, onde
é a quantidade demandada e
, o preço por unidade. Determine o preço e a quantidade para os quais a receita é máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a demanda de um produto, onde o preço por unidade é dado por
para
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual quantidade
e preço
vão fazer com que a receita total seja a maior possível. Para isso, vamos precisar entender como calcular a receita e usar um pouco de cálculo para otimizar essa receita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a receita total (
) é calculada multiplicando o preço pela quantidade vendida. Ou seja:
Como já temos uma equação para o preço (
), podemos substituir essa expressão na fórmula da receita:
Passo 3
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza a receita, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Vamos calcular a derivada de
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, a derivada fica:
Simplificando:
Passo 4
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar o denominador:
Então, a quantidade que maximiza a receita é
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos encontrar o preço correspondente usando a equação da demanda:
Substituindo
:
Então, o preço que maximiza a receita é
.
Resposta
A receita máxima ocorre quando a quantidade vendida é 8 unidades e o preço por unidade é 2 reais.