Usando o fato que
implica
. Mostre que se
, e os
são todos positivos, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma sequência de números positivos com
Queremos mostrar que
O tema aqui envolve médias (aritmética e geométrica) e uso de logaritmos, além da continuação do logaritmo e da função exponencial.
Passo 2
Defina a média geométrica da sequência até o termo
por
Para aproveitar a hipótese sobre médias aritméticas, vamos aplicar logaritmo natural em ambos os lados e estudar
Passo 3
Como cada
e
, pela continuidade de
em
temos
Isto mostra que a nova sequência
converge para
.
Passo 4
Pelo enunciado aplicamos o fato dado à sequência
. Ou seja, como
, segue
Mas pelo cálculo anterior isso é exatamente
Passo 5
Finalmente, usando a continuidade da função exponencial, temos