Usando o fato que lim n infty xn=x implica lim n infty x1+x2+ldots+xnn=x. Mostre que se lim n infty xn=x, e os xn são todos positivos, então lim n infty raiz[n]x1 x2 ldots xn=x.

Passo 1

O enunciado diz que xn é uma sequência de números positivos com
limntoinftyxn = x
Queremos mostrar que
limntoinfty raiz[n]x1x2cdots xn ;=; x
O tema aqui envolve médias (aritmética e geométrica) e uso de logaritmos, além da continuação do logaritmo e da função exponencial.

Passo 2

Defina a média geométrica da sequência até o termo n por
Gn = raiz[n]x1x2cdots xn
Para aproveitar a hipótese sobre médias aritméticas, vamos aplicar logaritmo natural em ambos os lados e estudar
ln Gn = lnl(x1x2cdots xnr)^1/n = 1nsumk=1^n ln xk

Passo 3

Como cada xk>0 e limntoinftyxn = x, pela continuidade de ln em (0,infty) temos
limntoinfty ln xn = ln x
Isto mostra que a nova sequência yn = ln xn converge para ln x.

Passo 4

Pelo enunciado aplicamos o fato dado à sequência yn. Ou seja, como limntoinftyyn = ln x, segue
limntoinfty y1 + y2 + cdots + ynn = ln x
Mas pelo cálculo anterior isso é exatamente
limntoinfty ln Gn = ln x

Passo 5

Finalmente, usando a continuidade da função exponencial, temos
limntoinfty Gn = limntoinfty e^ln Gn = e^limntoinftyln Gn = e^ln x = x

Resposta

limntoinfty raiz[n]x1x2cdots xn = x

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