Analise os pontos de descontinuidade das funções abaixo:
\frac{1}{x^{2}+4 x+5}

Passo 1

O enunciado pede para analisar os pontos de descontinuidade da função
f(x) = \frac{1}{x^{2} + 4x + 5}.
O conteúdo aqui é estudo de continuidade de funções racionais, que se baseia em verificar onde o denominador se anula, pois nesses pontos a função deixa de estar definida.

Passo 2

Para que f(x) esteja bem definida, é preciso ter
x^{2} + 4x + 5 \neq 0.
Assim, devemos resolver a equação
x^{2} + 4x + 5 = 0
e verificar se há raízes reais.

Passo 3

Calculando o discriminante da equação quadrática:
\Delta = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4.
Como \Delta<0, não existem raízes reais para x^{2} + 4x + 5 = 0.

Passo 4

Não havendo solução real para x^{2} + 4x + 5 = 0, o denominador nunca se anula para x\in\mathbb{R}. Portanto, f(x) está definida em todo o domínio real.

Passo 5

Funções racionais são contínuas em todos os pontos em que estão definidas. Como aqui não há pontos onde o denominador seja zero, concluímos que f é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

A função não possui pontos de descontinuidade; ela é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

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