Determine os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de sela de cada uma das funções:
f(x, y)=y\left(e^{x}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos de f(x,y)=y\bigl(e^{x}-1\bigr). Vamos usar cálculo de derivadas parciais para encontrar os pontos onde o gradiente é zero e, em seguida, analisar a natureza desses pontos com a matriz Hessiana.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[y(e^x-1)\bigr]=y\,e^x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl[y(e^x-1)\bigr]=e^x-1.
Para pontos críticos, impomos
f_x=0,\quad f_y=0
o que dá
y\,e^x=0\quad\Longrightarrow\quad y=0,
e^x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana das segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(y\,e^x)=y\,e^x,\quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(y\,e^x)=e^x,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(e^x-1)=0.
Em (0,0) temos
f_{xx}(0,0)=0,\quad f_{xy}(0,0)=1,\quad f_{yy}(0,0)=0,
portanto
H(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
O determinante de H(0,0) é
\det H(0,0)=0\cdot0-1\cdot1=-1<0,
indicando que a forma quadrática associada é indefinida, logo (0,0) é ponto de sela.]

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é ponto de sela; não há máximos nem mínimos locais.

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