Analise a posição relativa entre a esfera
e o plano
dados abaixo. Caso
seja um círculo, determine o centro e o raio do círculo, e caso
seja um ponto, obtenha suas coordenadas.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente analisar a posição relativa entre uma esfera $ S $ e um plano $ \pi $. Dependendo da interseção entre eles, essa interseção pode ser um círculo ou apenas um ponto. Se for um círculo, vamos encontrar o centro e o raio dele; se for um ponto, vamos descobrir as coordenadas desse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de esfera e plano, e entender como elas se relacionam no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da esfera $ S $:
Para identificar o centro e o raio da esfera, precisamos reescrever essa equação na forma padrão da equação da esfera:
onde $ (h, k, l) $ é o centro e $ r $ é o raio.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para reescrever a equação da esfera na forma padrão. Olhando para os termos de $ y $ e $ z $:
Para $ y $:
Para $ z $:
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos a equação da esfera na forma padrão:
Então, o centro da esfera $ S $ é $ (0, 1, 2) $ e o raio é $ \sqrt{5} $.
Passo 5
Vamos analisar agora a equação do plano $ \pi $:
Podemos reescrever essa equação para facilitar os cálculos:
Queremos encontrar a interseção entre a esfera e o plano. Para isso, substituímos a expressão de $ x $ na equação da esfera.
Passo 6
Substituindo $ x = -1 - 2z $ na equação da esfera:
Vamos expandir e simplificar essa equação para encontrar a relação entre $ y $ e $ z $.
Passo 7
Expandindo:
Somando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 8
A equação resultante $ 5z^2 + (y - 1)^2 = 4 $ descreve uma elipse no plano $ \pi $. Isso significa que a interseção entre a esfera $ S $ e o plano $ \pi $ é um círculo, já que a projeção resulta em uma forma bidimensional simétrica.
Passo 9
Para encontrar o centro e o raio do círculo de interseção, observamos que a equação está na forma:
Podemos reescrever essa equação dividindo ambos os lados por 4:
Isso mostra que o círculo tem centro em $ (y, z) = (1, 0) $ no sistema de coordenadas do plano, mas precisamos relacionar isso ao espaço tridimensional.
Passo 10
Lembrando que no plano $ \pi $, $ x = -1 - 2z $. Então, o centro do círculo no espaço tridimensional será:
Portanto, o centro do círculo de interseção é $ (-1, 1, 0) $.
Passo 11
O raio do círculo pode ser encontrado observando a equação:
O maior denominador sob um quadrado indica o raio. Aqui, $ \sqrt{4} = 2 $ e $ \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} $. O menor valor determina o raio do círculo no espaço.
Passo 12
Calculando o raio:
Portanto, o raio do círculo de interseção é $ \frac{2\sqrt{30}}{5} $.
Resposta
A interseção entre a esfera $ S $ e o plano $ \pi $ é um círculo com centro em $ (-1,\ 1,\ 0) $ e raio $ \dfrac{2\sqrt{30}}{5} $.