Analise a posição relativa entre a esfera S e o plano pi dados abaixo. Caso pi cap S seja um círculo, determine o centro e o raio do círculo, e caso pi cap S seja um ponto, obtenha suas coordenadas.
(b) S: x^2+y^2+z^2-2 y-4 z=0 e pi: x+2 z=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente analisar a posição relativa entre uma esfera $ S $ e um plano $ \pi $. Dependendo da interseção entre eles, essa interseção pode ser um círculo ou apenas um ponto. Se for um círculo, vamos encontrar o centro e o raio dele; se for um ponto, vamos descobrir as coordenadas desse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de esfera e plano, e entender como elas se relacionam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da esfera $ S $:
S
Para identificar o centro e o raio da esfera, precisamos reescrever essa equação na forma padrão da equação da esfera:
x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 4z = 0
onde $ (h, k, l) $ é o centro e $ r $ é o raio.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para reescrever a equação da esfera na forma padrão. Olhando para os termos de $ y $ e $ z $:
Para $ y $:
y
Para $ z $:
z
Substituindo de volta na equação original:
y
Simplificando:
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1

Passo 4

Agora, temos a equação da esfera na forma padrão:
(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 5
Então, o centro da esfera $ S $ é $ (0, 1, 2) $ e o raio é $ \sqrt{5} $.

Passo 5

Vamos analisar agora a equação do plano $ \pi $:
pi
Podemos reescrever essa equação para facilitar os cálculos:
x + 2z = -1
Queremos encontrar a interseção entre a esfera e o plano. Para isso, substituímos a expressão de $ x $ na equação da esfera.

Passo 6

Substituindo $ x = -1 - 2z $ na equação da esfera:
x = -1 - 2z
Vamos expandir e simplificar essa equação para encontrar a relação entre $ y $ e $ z $.

Passo 7

Expandindo:
(1 + 4z + 4z^2) + (y - 1)^2 + (z^2 - 4z + 4) = 5
Somando os termos semelhantes:
5z^2 + (y - 1)^2 + 1 = 5
Simplificando:
5z^2 + (y - 1)^2 = 4

Passo 8

A equação resultante $ 5z^2 + (y - 1)^2 = 4 $ descreve uma elipse no plano $ \pi $. Isso significa que a interseção entre a esfera $ S $ e o plano $ \pi $ é um círculo, já que a projeção resulta em uma forma bidimensional simétrica.

Passo 9

Para encontrar o centro e o raio do círculo de interseção, observamos que a equação está na forma:
5z^2 + (y - 1)^2 = 4
Podemos reescrever essa equação dividindo ambos os lados por 4:
(y - 1)^24 + z^245 = 1
Isso mostra que o círculo tem centro em $ (y, z) = (1, 0) $ no sistema de coordenadas do plano, mas precisamos relacionar isso ao espaço tridimensional.

Passo 10

Lembrando que no plano $ \pi $, $ x = -1 - 2z $. Então, o centro do círculo no espaço tridimensional será:
pi
Portanto, o centro do círculo de interseção é $ (-1, 1, 0) $.

Passo 11

O raio do círculo pode ser encontrado observando a equação:
(y - 1)^24 + z^245 = 1
O maior denominador sob um quadrado indica o raio. Aqui, $ \sqrt{4} = 2 $ e $ \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} $. O menor valor determina o raio do círculo no espaço.

Passo 12

Calculando o raio:
r = raiz(2raiz5)^2 + 2^2 = raiz45 + 4 = raiz4 + 205 = raiz245 = 2raiz6raiz5 = 2raiz305
Portanto, o raio do círculo de interseção é $ \frac{2\sqrt{30}}{5} $.

Resposta

A interseção entre a esfera $ S $ e o plano $ \pi $ é um círculo com centro em $ (-1,\ 1,\ 0) $ e raio $ \dfrac{2\sqrt{30}}{5} $.

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