Considere as seguintes retas:
E os planos
t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l x+2 y-z=7
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
© alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a posição relativa, o ângulo e a distância entre os planos alpha e beta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial relacionados a planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como identificar se os planos são paralelos, coincidentes ou se eles se intersectam, além de calcular o ângulo entre eles e a distância entre dois planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações dos planos:
  • Plano alpha: 2x - y + z = 1
  • Plano beta: -y + 3z = 4
Para facilitar a comparação, podemos reescrever a equação do plano beta na forma padrão, incluindo o termo x:
  • Plano beta: 0x - y + 3z = 4
Agora, identificamos os coeficientes normais desses planos. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
  • Vetor normal de alpha: nalpha = (2, -1, 1)
  • Vetor normal de beta: nbeta = (0, -1, 3)

Passo 3

Para determinar a posição relativa entre os planos, vamos verificar se eles são paralelos, coincidentes ou se intersectam.
  • Planos Paralelos: Se os vetores normais são múltiplos escalares um do outro.
  • Planos Coincidentes: São planos paralelos que, além disso, têm todas as coordenadas correspondentes iguais.
  • Planos que se Intersectam: Se os vetores normais não são múltiplos escalares, então os planos se intersectam ao longo de uma reta.
Vamos verificar se nalpha é múltiplo de nbeta:
nalpha = (2, -1, 1) e nbeta = (0, -1, 3)
Não existe um número real k tal que:
(2, -1, 1) = k cdot (0, -1, 3)
Porque, por exemplo, 2 neq 0 cdot k. Então, os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam.

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo entre os planos. Esse ângulo é igual ao ângulo entre os vetores normais dos planos.
A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores a e b é:
cos theta = a cdot b|a| cdot |b|
Onde:
  • a cdot b é o produto escalar dos vetores.
  • |a| e |b| são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular o produto escalar e as magnitudes:
nalpha cdot nbeta = (2)(0) + (-1)(-1) + (1)(3) = 0 + 1 + 3 = 4
|nalpha| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
|nbeta| = raiz0^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz0 + 1 + 9 = raiz10
Agora, substituímos na fórmula:
cos theta = 4raiz6 cdot raiz10 = 4raiz60 = 42raiz15 = 2raiz15
Para encontrar o ângulo theta:
theta = arccos(2raiz15) approx 56,31^circ

Passo 5

Por fim, vamos calcular a distância entre os dois planos. A distância entre dois planos paralelos é dada pela fórmula:
d = |D2 - D1||n|
Onde D1 e D2 são os termos constantes das equações dos planos, e |n| é a magnitude do vetor normal.
No entanto, como já vimos que os planos alpha e beta não são paralelos (their normals are not multiples), a distância entre eles não é constante; ou seja, eles se intersectam e a distância mínima entre eles é zero.

Resposta

Os planos alpha e beta se intersectam ao longo de uma reta, o ângulo entre eles é aproximadamente 56,31 graus e a distância entre eles é zero.

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