Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a posição relativa, o ângulo e a distância entre os planos alpha e beta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial relacionados a planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como identificar se os planos são paralelos, coincidentes ou se eles se intersectam, além de calcular o ângulo entre eles e a distância entre dois planos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações dos planos:
Plano alpha: 2x - y + z = 1
Plano beta: -y + 3z = 4
Para facilitar a comparação, podemos reescrever a equação do plano beta na forma padrão, incluindo o termo x:
Plano beta: 0x - y + 3z = 4
Agora, identificamos os coeficientes normais desses planos. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
Vetor normal de alpha: nalpha = (2, -1, 1)
Vetor normal de beta: nbeta = (0, -1, 3)
Passo 3
Para determinar a posição relativa entre os planos, vamos verificar se eles são paralelos, coincidentes ou se intersectam.
Planos Paralelos: Se os vetores normais são múltiplos escalares um do outro.
Planos Coincidentes: São planos paralelos que, além disso, têm todas as coordenadas correspondentes iguais.
Planos que se Intersectam: Se os vetores normais não são múltiplos escalares, então os planos se intersectam ao longo de uma reta.
Vamos verificar se nalpha é múltiplo de nbeta:
nalpha = (2, -1, 1) e nbeta = (0, -1, 3)
Não existe um número real k tal que:
(2, -1, 1) = k cdot (0, -1, 3)
Porque, por exemplo, 2 neq 0 cdot k. Então, os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam.
Passo 4
Agora, vamos calcular o ângulo entre os planos. Esse ângulo é igual ao ângulo entre os vetores normais dos planos.
A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores a e b é:
cos theta = a cdot b|a| cdot |b|
Onde:
a cdot b é o produto escalar dos vetores.
|a| e |b| são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
Por fim, vamos calcular a distância entre os dois planos. A distância entre dois planos paralelos é dada pela fórmula:
d = |D2 - D1||n|
Onde D1 e D2 são os termos constantes das equações dos planos, e |n| é a magnitude do vetor normal.
No entanto, como já vimos que os planos alpha e betanão são paralelos (their normals are not multiples), a distância entre eles não é constante; ou seja, eles se intersectam e a distância mínima entre eles é zero.
Resposta
Os planos alpha e betase intersectam ao longo de uma reta, o ângulo entre eles é aproximadamente 56,31 graus e a distância entre eles é zero.