Analise a posição relativa entre as retas.
As retas r: A+t v e s: B+t u, com A=(4,-1,-1), v=(-4,4,5), B=(3,3,-5) e u=(-3,4,2), são square

Passo 1

O enunciado pede para analisar a posição relativa de duas retas no espaço:
r: A + s,vec v com A=(4,-1,-1), vec v=(-4,4,5) s: B + t,vec u com B=(3,3,-5), vec u=(-3,4,2)
Conteúdo: retas no espaço em forma paramétrica. Vamos primeiro ver se os vetores diretores são paralelos e, se não, checar se existe interseção (concorrentes) ou não (reversas).

Passo 2

Verificamos se vec v e vec u são paralelos calculando o produto vetorial.
vec v times vec u = i & j & k -4 & 4 & 5 -3 & 4 & 2 = l(-12,,-7,,-4r)
Como vec v times vec u neq (0,0,0), os vetores não são paralelos, ou seja, as retas não são paralelas nem coincidentes.

Passo 3

Para ver se elas se cruzam, igualamos
A + s,vec v ;=; B + t,vec u,
isto é, resolvemos o sistema
4 - 4s = 3 - 3t, -1 + 4s = 3 + 4t, -1 + 5s = -5 + 2t
Reescrevendo:
-4s + 3t = -1, 4s - 4t = 4, 5s - 2t = -4

Passo 4

Da segunda equação temos 4s -4t=4. Da primeira, -4s+3t=-1.
– Multiplicando a primeira por 4: -16s+12t=-4.
– Somando com a segunda: -16s+12t +4s -4t = -4 +4 Rightarrow -12s+8t=0 Rightarrow 2t=3s Rightarrow t=tfrac32s.
Substituindo em 4s-4t=4:
4s -4l(tfrac32sr)=4 Longrightarrow 4s -6s =4 Longrightarrow -2s=4 Longrightarrow s=-2,
logo t=tfrac32(-2)=-3.
Verificando na terceira equação:
5(-2)-2(-3)=-10+6=-4,
coincide com o lado direito. Assim há solução única (s,t)=(-2,-3).

Passo 5

Como existe (s,t) tal que A+svec v = B+tvec u, as retas se intersectam em um ponto.

Resposta

As retas são concorrentes (secantes).

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