Seja T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x-y+2 z, 2 x+y,-x-2 y+2 z)
a) Mostrar que T é linear.
b) Se (a, b, c) in R^3, quais as condições sobre a, b, c para que o vetor (a, b, c) in Im(T) ? Qual a dimIm(T) ?
c) Quais as condições sobre a, b e c para que o vetor (a, b, c) in N u c(T) ? Qual dim N u c(T) ?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:R^3toR^3 por
T(x,y,z)=(x - y + 2z,;2x + y,;-x - 2y + 2z)
Pede-se:
(a) mostrar que T é linear;
(b) caracterizar Im(T) e calcular dimIm(T);
(c) caracterizar ker(T) e calcular dimker(T).
Usaremos definição de mapa linear, imagem como espaço gerado pelas colunas da matriz de T, núcleo como solução do sistema homogêneo e o teorema da dimensão (posto–nuloidade).

Passo 2

Para (a), reescrevo T como produto matricial T(v)=Av, com
A= 1 & -1 & 2 2 & 1 & 0 -1 & -2 & 2 , v=(x,y,z)^T
Como qualquer multiplicação de matriz por vetor satisfaz
A(u+v)=Au+Av, A(lambdau)=lambda,(Au),
segue imediatamente que T é linear.

Passo 3

Para (b), Im(T) é gerado pelas colunas de A:
c1=(1,2,-1), c2=(-1,1,-2), c3=(2,0,2)
Calculo
det(A) =1cdot(1cdot2-0cdot(-2))-(-1)cdot(2cdot2-0cdot(-1)) +2cdot(2cdot(-2)-1cdot(-1)) =2+4-6=0,
logo rank(A)<3. Como
det1 & -12 & 1 =1cdot1-(-1)cdot2=3neq0,
conclui-se rank(A)=2 e dimIm(T)=2.
Para achar a equação que caracteriza Im(T), busco wneq0 tal que
w^T A=0 Long<=ftrightarrow A^T w=0
e obtenho w=(-1,1,1). Logo
Im(T) =(a,b,c)mid wcdot(a,b,c)=0 =(a,b,c)mid -a+b+c=0

Passo 4

Para (c),
Da segunda equação , ou . A terceira é consequência das duas primeiras. Assim
e .

Resposta

(a) T é linear pois T(v)=Av.
(b) Im(T)=(a,b,c)mid -a+b+c=0, dimIm(T)=2.
(c) ker(T)=(t,-2t,-tfrac32t)mid tinR, dimker(T)=1.

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