Analise a posição relativa entre as retas.
As retas r: A+t v e s: B+t ur com A=(4,1,-3), v=(5,5,1), B=(3,-2,-1) e u=(2,-3,-5), são square

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse problema juntos! A questão pede para a gente verificar a posição relativa entre duas retas no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como as retas estão representadas através de vetores e pontos, e verificar se elas são paralelas, coincidentes, ou se se cruzam em algum ponto (são secantes) ou não (são retas paralelas não coincidentes ou retas “esvoaçantes”).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas retas que temos:
  • Reta r: Representada por r: A + tv , onde A = (4,1,-3) é um ponto na reta e v = (5,5,1) é o vetor diretor.
  • Reta s: Representada por s: B + tu , onde B = (3,-2,-1) é um ponto na reta e u = (2,-3,-5) é o vetor diretor.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, precisamos ver se os vetores diretores v e u são paralelos, ou seja, se um é múltiplo escalar do outro.
Vamos comparar as componentes:
  • v = (5,5,1)
  • u = (2,-3,-5)
Para serem paralelos, deve existir um número k tal que v = ku .
Verificando:
  • 5 = 2k k = 2.5
  • 5 = -3k k = -53
  • 1 = -5k k = -15
Como não existe um único valor de k que satisfaça todas as componentes, os vetores não são múltiplos escalar. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se cruzam em algum ponto, ou seja, se são secantes. Para isso, precisamos encontrar valores de t e s tais que:
A + tv = B + su
Escrevendo isso coordenada a coordenada:
4 + 5t = 3 + 2s 1 + 5t = -2 -3s -3 + t = -1 -5s
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para t :
4 + 5t = 3 + 2s
5t - 2s = -1 (1)
Agora, a segunda equação:
1 + 5t = -2 -3s
5t + 3s = -3 (2)
Vamos resolver o sistema formado pelas equações (1) e (2):
Multiplicando a equação (1) por 3:
15t - 6s = -3 (3)
Multiplicando a equação (2) por 2:
10t + 6s = -6 (4)
Somando as equações (3) e (4):
25t = -9
t = -925
Substituindo t na equação (1):
5(-925) - 2s = -1
-4525 - 2s = -1
-95 - 2s = -1
-2s = 95 - 1
-2s = 45
s = -25

Passo 6

Agora, vamos verificar se esses valores de t e s satisfazem a terceira equação:
-3 + t = -1 -5s
-3 - 925 = -1 -5(-25)
-8425 = -1 + 2
-8425 = 1
Isso não é verdade. Portanto, não existe um ponto em comum entre as duas retas.

Resposta

As retas r e s são retas esvoaçantes (não são paralelas nem se cruzam).

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