Quais dos sistemas dados são possíveis ou impossíveis? Se for o caso, obtenha a solução geral e explicite as soluções básicas dos sistemas homogêneos.
c) 3 x1-7 x2-2 x3+4 x4=0 x1-2 x2+3 x3-2 x4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me mandou. A gente precisa primeiro identificar se esse sistema é possível ou impossível. Como é um sistema homogêneo (todas as equações são iguais a zero), ele sempre tem pelo menos a solução trivial (onde todas as variáveis são zero). Mas vamos ver se tem soluções não triviais também. Para isso, vamos precisar usar matrizes e fazer umas operações para simplificar o sistema.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação de operações para simplificar.
As equações são:
3x1 - 7x2 - 2x3 + 4x4 = 0 x1 - 2x2 + 3x3 - 2x4 = 0
Então, a matriz aumentada fica assim:
3 & -7 & -2 & 4 & | & 0 1 & -2 & 3 & -2 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa matriz usando operações com linhas. O objetivo é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde a gente consiga identificar as variáveis livres e as variáveis dependentes.
Primeiro, vamos usar a segunda linha para eliminar o x1 da primeira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 3 e subtraímos da primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 - 3 * Linha 2
3 - 3(1) & -7 - 3(-2) & -2 - 3(3) & 4 - 3(-2) & | & 0 - 3(0) 1 & -2 & 3 & -2 & | & 0
Simplificando:
0 & -1 & -11 & 10 & | & 0 1 & -2 & 3 & -2 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos trocar as linhas para facilitar a próxima etapa:
1 & -2 & 3 & -2 & | & 0 0 & -1 & -11 & 10 & | & 0
Em seguida, vamos multiplicar a segunda linha por -1 para deixar o coeficiente de x2 positivo:
1 & -2 & 3 & -2 & | & 0 0 & 1 & 11 & -10 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos eliminar o x2 da primeira linha usando a segunda linha:
Linha 1 = Linha 1 + 2 * Linha 2
1 + 2(0) & -2 + 2(1) & 3 + 2(11) & -2 + 2(-10) & | & 0 + 2(0) 0 & 1 & 11 & -10 & | & 0
Simplificando:
1 & 0 & 25 & -22 & | & 0 0 & 1 & 11 & -10 & | & 0

Passo 6

Agora temos o sistema já simplificado:
x1 + 25x3 - 22x4 = 0 x2 + 11x3 - 10x4 = 0
Vamos resolver para x1 e x2 em termos de x3 e x4 , que serão nossas variáveis livres.
Da primeira equação:
x1 = -25x3 + 22x4
Da segunda equação:
x2 = -11x3 + 10x4

Passo 7

Agora, podemos expressar a solução geral do sistema. Como temos duas variáveis livres ( x3 e x4 ), a solução geral será uma combinação linear delas.
Então, colocando tudo junto:
x1 = -25x3 + 22x4 x2 = -11x3 + 10x4 x3 = x3 x4 = x4
Podemos também escrever isso em termos vetoriais:
x1 x2 x3 x4 = x3 -25 -11 1 0 + x4 22 10 0 1

Passo 8

As soluções básicas dos sistemas homogêneos são os vetores que correspondem às variáveis livres. No nosso caso, temos duas soluções básicas:
  1. Quando x3 = 1 e x4 = 0 :
-25 -11 1 0
  1. Quando x3 = 0 e x4 = 1 :
22 10 0 1

Resposta

O sistema é possível e admite infinitas soluções. A solução geral é dada por:
x1 = -25x3 + 22x4, x2 = -11x3 + 10x4, x3 e x4 livres
As soluções básicas são os vetores:
-25 -11 1 0 e 22 10 0 1

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