Encontre o ponto S de interseção da reta
r: x+2=-y-4=-z-2
com o plano
X=P+lambda u+mu vr
onde u=(3,-4,-2), stackrelharpoonupv=(2,-4,-3) e P=(-6,-6,-4).
O ponto S é
a. (-14,8,10)
b. (-2,-4,-2)
c. (-8,2,4)
d. (-4,-2,0)
e. (-5,-1,1)

Passo 1

O enunciado pede o ponto S de interseção entre a reta
r:;x+2=-y-4=-z-2
e o plano
X = P + lambda,u + mu,v,
com P=(-6,-6,-4), u=(3,-4,-2) e v=(2,-4,-3).
O conteúdo aqui é interseção de reta e plano em R^3: vamos parametrizar a reta, igualar com a forma paramétrica do plano e resolver para os parâmetros.

Passo 2

Da equação simétrica
x+2 = -y-4 = -z-2,
tomamos um parâmetro t e obtemos
x = t-2, y = -t-4, z = -t-2

Passo 3

A forma paramétrica do plano é
(Xx,Xy,Xz)=(-6,-6,-4)+lambda,(3,-4,-2)+mu,(2,-4,-3)

Passo 4

Igualando coordenadas da reta e do plano, obtemos o sistema
t-2 = -6 + 3lambda + 2mu,
-t-4 = -6 -4lambda -4mu,
-t-2 = -4 -2lambda -3mu

Passo 5

Isolando t em cada equação, fica
t = -4 + 3lambda + 2mu,
t = 2 + 4lambda + 4mu,
t = 2 + 2lambda + 3mu
Comparando as duas primeiras:
-4 + 3lambda + 2mu = 2 + 4lambda + 4mu ;Longrightarrow;lambda + 2mu=-6
Comparando a primeira e a terceira:
-4 + 3lambda + 2mu = 2 + 2lambda + 3mu ;Longrightarrow;lambda - mu=6
Resolvendo esse sistema dá lambda=2, mu=-4. Substituindo em t=-4+3lambda+2mu resulta em t=-6.

Passo 6

Com t=-6, o ponto de interseção é
S=(t-2,,-t-4,,-t-2)=(-6-2,;6-4,;6-2)=(-8,2,4)
Isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c)

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