Analise a posição relativa entre as retas.
As retas r: x+4=y+14=-z2 e s: x+22=y8=14(-z-4) são square

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, dadas pelas equações:
  • Reta r : x + 4 = y + 14 = -z2
  • Reta s : x + 22 = y8 = 14(-z - 4)
Queremos analisar a posição relativa entre essas duas retas, ou seja, determinar se elas são paralelas, coincidentes, se se intersectam em um ponto ou se são retas que não se intersectam e não são paralelas (retas skew).
Para resolver isso, precisamos entender os vetores diretores de cada reta e verificar se as retas são paralelas ou intersectantes.

Passo 2

Vamos identificar os vetores diretores das retas r e s .
A forma geral da equação simétrica de uma reta no espaço é:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) é o vetor diretor.
Para a reta r :
x + 4 = y + 14 = -z2
Podemos reescrever como:
x - (-4)1 = y - (-1)4 = z - 0-2
Aqui, o vetor diretor de r é dr = (1, 4, -2) .
Para a reta s :
x + 22 = y8 = 14(-z - 4)
Simplificando a última parte:
14(-z - 4) = -z - 44 = z + 4-4
Então, a equação fica:
x - (-2)2 = y - 08 = z - (-4)-4
O vetor diretor de s é ds = (2, 8, -4) .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores diretores são paralelos. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro.
Vamos comparar dr = (1, 4, -2) e ds = (2, 8, -4) .
Observamos que:
ds = 2 times dr (pois 2 times 1 = 2, 2 times 4 = 8, 2 times (-2) = -4)
Como ds é um múltiplo escalar de dr , as retas r e s são paralelas.

Passo 4

Mesmo que as retas sejam paralelas, precisamos verificar se são coincidentes ou paralelas distintas. Para isso, verificamos se existe um ponto comum entre as retas.
Vamos considerar um ponto na reta r . Por exemplo, quando t = 0 :
x = -4, y = -1, z = 0
Agora, vamos verificar se esse ponto pertence à reta s . Substituindo na equação de s :
-4 + 22 = -18 = 0 + 4-4
Calculando cada parte:
-22 = -1, -18 = -0,125, 4-4 = -1
Os três valores são iguais? Não, pois -1 ≠ -0,125. Portanto, o ponto não pertence à reta s .

Passo 5

Como as retas r e s são paralelas (vetores diretores são múltiplos escalares) e não possuem pontos em comum, concluímos que elas são paralelas distintas.

Resposta

As retas r e s são paralelas distintas.

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