Determine quais das seguintes afirmativas são verdadeiras e quais são falsas, justificando a sua resposta.
a. Todo ponto do espaço pertence a um plano paralelo ao plano
.
b. Todo ponto do espaço pode ser tomado como origem de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas.
c. Por quatro pontos do espaço passa um único plano paralelo ao plano
.
d. Cada ponto do plano
é a projeção de uma infinidade de pontos do espaço.
e. Três planos paralelos aos respectivos planos coordenados sempre têm um ponto em comum.
a. Todo ponto do espaço pertence a um plano paralelo ao plano
b. Todo ponto do espaço pode ser tomado como origem de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas.
c. Por quatro pontos do espaço passa um único plano paralelo ao plano
d. Cada ponto do plano
e. Três planos paralelos aos respectivos planos coordenados sempre têm um ponto em comum.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tá pedindo para a gente analisar cinco afirmações sobre planos e pontos no espaço. Estamos trabalhando com geometria analítica, então vamos precisar entender sobre planos paralelos, sistemas de coordenadas cartesianas, projeções e interseções de planos. Vamos verificar cada afirmação uma por uma para ver se é verdadeira ou falsa.
Passo 2
a. Todo ponto do espaço pertence a um plano paralelo ao plano
.
Primeiro, vamos lembrar que o plano
é o plano formado pelos eixos X e Y, ou seja, onde Z = 0. Um plano paralelo a
terá a mesma inclinação, mas estará em uma altura diferente, ou seja, terá a forma
, onde k é uma constante.
Agora, para qualquer ponto no espaço com coordenadas
, podemos construir um plano paralelo a
que passa por esse ponto. Basta escolher
. Assim, o ponto
está nesse plano
.
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Passo 3
b. Todo ponto do espaço pode ser tomado como origem de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas.
Um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas é definido por três eixos perpendiculares entre si, geralmente chamados de X, Y e Z. A origem desse sistema é onde os três eixos se interceptam.
Dado qualquer ponto no espaço, digamos
, podemos “mover” o sistema de coordenadas para que esse ponto seja a nova origem. Isso significa que as coordenadas relativas a partir de
seriam ajustadas, mas a estrutura do sistema ortogonal permanece a mesma.
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Passo 4
c. Por quatro pontos do espaço passa um único plano paralelo ao plano
.
O plano
é o plano onde X = 0. Um plano paralelo a
terá a forma
, onde k é uma constante.
Se temos quatro pontos no espaço, para que todos pertençam a um único plano paralelo a
, todos eles devem ter a mesma coordenada X, ou seja,
. Se os quatro pontos tiverem X diferentes, não existirão constantes k que satisfaçam todos os quatro simultaneamente.
É possível que quatro pontos estejam em um plano
se todos tiverem a mesma coord X, mas isso não é garantido em geral.
Conclusão: A afirmação é falsa.
Passo 5
d. Cada ponto do plano
é a projeção de uma infinidade de pontos do espaço.
O plano
é onde Y = 0. A projeção de um ponto do espaço no plano
consiste em “eliminar” a coordenada Y, ou seja, projetar o ponto
para
.
Para cada ponto no plano
, digamos
, podemos encontrar infinitos pontos no espaço que projetam nesse ponto, variando o valor de Y. Por exemplo, todos os pontos
com qualquer valor de Y irão projetar em
.
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Passo 6
e. Três planos paralelos aos respectivos planos coordenados sempre têm um ponto em comum.
Vamos analisar:
- Um plano paralelo a
tem a forma . - Um plano paralelo a
tem a forma . - Um plano paralelo a
tem a forma .
Se tivermos três planos, cada um paralelo a um dos planos coordenados, eles podem ser representados como:
Esses três planos se intersectam no ponto
. Portanto, há exatamente um ponto em comum.
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Resposta
a. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira