Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Se os vetores (
) são linearmente independentes, então os vetores (
) podem ser linearmente dependentes ou independentes.
( ) Se os vetores (
Passo 1
O enunciado trabalha com dependência linear de vetores. Diz que
e
são linearmente independentes e pergunta se o conjunto
pode tanto ser linearmente dependente quanto independente. Para responder, vamos usar o conceito de span (espaço gerado) e a definição de dependência/independência linear.
Passo 2
Como
e
são independentes, nenhum dos dois pode ser escrito como múltiplo escalar do outro.
- Se
, isto é, se não existir combinação linear
com escalares
, então
permanece independente, pois não há relação não trivial que zere uma combinação dos três.
- Se
, existe tal que
Reescrevendo,
com coeficientes não todos nulos, o que faz o conjunto ser linearmente dependente.
Como há exemplos nos dois casos, a proposição é verdadeira.
Resposta
Verdadeira.