Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Se os vetores ( \vec{u}, \vec{v} ) são linearmente independentes, então os vetores ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) podem ser linearmente dependentes ou independentes.

Passo 1

O enunciado trabalha com dependência linear de vetores. Diz que \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes e pergunta se o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} pode tanto ser linearmente dependente quanto independente. Para responder, vamos usar o conceito de span (espaço gerado) e a definição de dependência/independência linear.

Passo 2

Como \vec{u} e \vec{v} são independentes, nenhum dos dois pode ser escrito como múltiplo escalar do outro.
  • Se \vec{w}\notin \mathrm{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, isto é, se não existir combinação linear
a\,\vec{u} + b\,\vec{v} = \vec{w}
com escalares (a,b), então \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} permanece independente, pois não há relação não trivial que zere uma combinação dos três.
  • Se \vec{w}\in \mathrm{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, existe (a,b)\neq(0,0) tal que
a\,\vec{u} + b\,\vec{v} = \vec{w}.
Reescrevendo,
a\,\vec{u} + b\,\vec{v} -1\cdot\vec{w} = \vec{0}
com coeficientes não todos nulos, o que faz o conjunto ser linearmente dependente.
Como há exemplos nos dois casos, a proposição é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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