Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Se os vetores ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) são linearmente dependentes então os vetores ( \vec{u}, \vec{v} ) são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado pergunta se vale a implicação: “se \{\vec u,\vec v,\vec w\} é LD (linearmente dependente) então \{\vec u,\vec v\} também é LD”. O conteúdo é definição de dependência linear e contraexemplo para mostrar que a implicação pode falhar.

Passo 2

Lembre que um conjunto de vetores \{\vec x_1,\dots,\vec x_k\} é LD se existem escalares não todos nulos tais que
a_1\vec x_1 + \cdots + a_k\vec x_k = \vec 0.
Caso contrário dizemos que o conjunto é LI (linearmente independente).

Passo 3

Para concluir que \{\vec u,\vec v\} é LD a partir de \{\vec u,\vec v,\vec w\} LD, precisaríamos extrair uma combinação não trivial envolvendo só \vec u e \vec v. Mas na relação
a\,\vec u + b\,\vec v + c\,\vec w = \vec 0
pode acontecer de c\neq 0, ou seja, o coeficiente de \vec w ser essencial para anular a combinação, sem fornecer nenhuma relação entre \vec u e \vec v isoladamente.

Passo 4

Um contraexemplo simples em \mathbb R^2: \vec u = (1,0), \vec v = (0,1), \vec w = (1,1).
Então
\vec w = \vec u + \vec v
mostra que \{\vec u,\vec v,\vec w\} é LD (pois -1\cdot\vec u + (-1)\cdot\vec v + 1\cdot\vec w=\vec0), mas \{\vec u,\vec v\} é LI (pois só admitem combinação trivial).

Resposta

Falsa.

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