Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Se os vetores (
) são linearmente dependentes então os vetores (
) são linearmente dependentes.
( ) Se os vetores (
Passo 1
O enunciado pergunta se vale a implicação: “se
é LD (linearmente dependente) então
também é LD”. O conteúdo é definição de dependência linear e contraexemplo para mostrar que a implicação pode falhar.
Passo 2
Lembre que um conjunto de vetores
é LD se existem escalares não todos nulos tais que
Caso contrário dizemos que o conjunto é LI (linearmente independente).
Passo 3
Para concluir que
é LD a partir de
LD, precisaríamos extrair uma combinação não trivial envolvendo só
e
. Mas na relação
pode acontecer de
, ou seja, o coeficiente de
ser essencial para anular a combinação, sem fornecer nenhuma relação entre
e
isoladamente.
Passo 4
Um contraexemplo simples em
:
,
,
.
Então
Então
mostra que
é LD (pois
), mas
é LI (pois só admitem combinação trivial).
Resposta
Falsa.