Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Se três vetores ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) são linearmente dependentes, então os vetores ( \vec{u}, \vec{v} ) podem ser linearmente dependentes ou independentes.

Passo 1

O enunciado diz que três vetores \vec u,\vec v,\vec w são linearmente dependentes. Queremos verificar se, nesse caso, o par \vec u,\vec v pode ser tanto linearmente dependente quanto linearmente independente.

Passo 2

Lembramos que um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo. Em símbolos, \{\,\vec u,\vec v,\vec w\} é dependente se existem escalares a,b,c, não todos zero, tais que
a\,\vec u + b\,\vec v + c\,\vec w = \vec 0.
Isso não impõe qualquer relação direta entre \vec u e \vec v isoladamente.

Passo 3

Para ver na prática que \{\vec u,\vec v\} pode ser dependente ou independente, basta dar dois exemplos em \mathbb R^2:
  1. Exemplo em que \vec u,\vec v são independentes:
    Tome \vec u=(1,0), \vec v=(0,1) e \vec w=\vec u+\vec v.
    Então \vec w está em \text{span}\{\vec u,\vec v\} e
1\cdot\vec u + 1\cdot\vec v -1\cdot\vec w = \vec 0,
mostrando dependência do trio, enquanto \vec u,\vec v continuam independentes.
  1. Exemplo em que \vec u,\vec v são dependentes:
    Tome \vec u=(1,0), \vec v=2\,\vec u=(2,0) e qualquer \vec w colinear, por exemplo \vec w=\vec u.
    Nesse caso já \vec u,\vec v são dependentes e também o trio é dependente.

Resposta

Verdadeira.

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