Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Se três vetores (
) são linearmente dependentes, então os vetores (
) podem ser linearmente dependentes ou independentes.
( ) Se três vetores (
Passo 1
O enunciado diz que três vetores
são linearmente dependentes. Queremos verificar se, nesse caso, o par
pode ser tanto linearmente dependente quanto linearmente independente.
Passo 2
Lembramos que um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo. Em símbolos,
é dependente se existem escalares
, não todos zero, tais que
Isso não impõe qualquer relação direta entre
e
isoladamente.
Passo 3
Para ver na prática que
pode ser dependente ou independente, basta dar dois exemplos em
:
- Exemplo em que
são independentes:
Tome, e .
Entãoestá em e
mostrando dependência do trio, enquanto
continuam independentes.
- Exemplo em que
são dependentes:
Tome, e qualquer colinear, por exemplo .
Nesse caso jásão dependentes e também o trio é dependente.
Resposta
Verdadeira.