Um estudo de engenharia ambiental analisou o número de descargas diárias de efluentes em um pequeno rio, representado pela variável aleatória
, que pode assumir apenas quatro valores. A função de probabilidade de
está apresentada na tabela abaixo:
0
1
2
3
0,1
0,3
0,4
0,2
Determine a variância de
.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Passo 1
O enunciado pede para determinar a variância da variável aleatória
.\n
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):\n
pode assumir os valores
.\n
As probabilidades correspondentes são .
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):\n
As probabilidades correspondentes são
Passo 2
O que é a variância e como a vamos calcular aqui?\n
A variância de mede a dispersão dos valores de
em torno da sua média. Formalmente, uma definição útil é
A variância de
onde
é a esperança (média) de
.\n
Uma fórmula equivalente, que facilita cálculos, é
Uma fórmula equivalente, que facilita cálculos, é
Aqui
é a esperança e
é a esperança do quadrado da variável. Vou usar essa segunda fórmula porque é direta de aplicar com uma tabela de probabilidades.
Passo 3
Como calcular
.\n
A definição de esperança para variável discreta é
A definição de esperança para variável discreta é
onde somamos sobre todos os valores possíveis de
.\n
Aplicando aos dados:
Aplicando aos dados:
Agora faço as multiplicações uma a uma:
Somando:
Logo a média é
.
Passo 4
Como calcular
.\n
Pelo mesmo raciocínio,
Pelo mesmo raciocínio,
Isso significa elevar cada valor de
ao quadrado, multiplicar pela respectiva probabilidade e somar.
Passo 5
Cálculo explícito de
.\n
Primeiro calculo para cada
e multiplico pela probabilidade:
Primeiro calculo
Agora somo:
Passo 6
Uso a fórmula da variância e faço a conta final.\n
A fórmula que vamos usar é
A fórmula que vamos usar é
Substituindo os valores que encontramos:
Calculo
:
Portanto
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo.\n
A variância indica quão espalhados, em média ao quadrado, estão os valores de
em relação à média
. Se quiser comparar em unidades originais, a raiz quadrada da variância dá o desvio padrão:
. Vai ficar tudo bem — esse tipo de conta é padrão em prova e você já tem os passos para reproduzir!
A variância