Um estudo de engenharia ambiental analisou o número de descargas diárias de efluentes em um pequeno rio, representado pela variável aleatória X, que pode assumir apenas quatro valores. A função de probabilidade de X está apresentada na tabela abaixo:
x 0 1 2 3
P(X=x) 0,1 0,3 0,4 0,2
Determine a variância de X.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a variância da variável aleatória X.\n
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):\n
X pode assumir os valores 0,1,2,3.\n
As probabilidades correspondentes são \,P(X=0)=0,1\,,\;P(X=1)=0,3\,,\;P(X=2)=0,4\,,\;P(X=3)=0,2.

Passo 2

O que é a variância e como a vamos calcular aqui?\n
A variância de X mede a dispersão dos valores de X em torno da sua média. Formalmente, uma definição útil é
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\big[(X-\mu)^2\big],
onde \mu=\mathbb{E}[X] é a esperança (média) de X.\n
Uma fórmula equivalente, que facilita cálculos, é
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2] - \big(\mathbb{E}[X]\big)^2.
Aqui \mathbb{E}[X] é a esperança e \mathbb{E}[X^2] é a esperança do quadrado da variável. Vou usar essa segunda fórmula porque é direta de aplicar com uma tabela de probabilidades.

Passo 3

Como calcular \mathbb{E}[X].\n
A definição de esperança para variável discreta é
\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,P(X=x),
onde somamos sobre todos os valores possíveis de x.\n
Aplicando aos dados:
\mathbb{E}[X]=0\cdot 0,1 + 1\cdot 0,3 + 2\cdot 0,4 + 3\cdot 0,2.
Agora faço as multiplicações uma a uma:
0\cdot 0,1 = 0,\quad 1\cdot 0,3 = 0,3,\quad 2\cdot 0,4 = 0,8,\quad 3\cdot 0,2 = 0,6.
Somando:
\mathbb{E}[X]=0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.
Logo a média é \mathbb{E}[X]=1,7.

Passo 4

Como calcular \mathbb{E}[X^2].\n
Pelo mesmo raciocínio,
\mathbb{E}[X^2]=\sum_x x^2\,P(X=x).
Isso significa elevar cada valor de x ao quadrado, multiplicar pela respectiva probabilidade e somar.

Passo 5

Cálculo explícito de \mathbb{E}[X^2].\n
Primeiro calculo x^2 para cada x e multiplico pela probabilidade:
0^2\cdot 0,1 = 0,\quad 1^2\cdot 0,3 = 1\cdot 0,3 = 0,3,
2^2\cdot 0,4 = 4\cdot 0,4 = 1,6,\quad 3^2\cdot 0,2 = 9\cdot 0,2 = 1,8.
Agora somo:
\mathbb{E}[X^2]=0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7.

Passo 6

Uso a fórmula da variância e faço a conta final.\n
A fórmula que vamos usar é
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2] - \big(\mathbb{E}[X]\big)^2.
Substituindo os valores que encontramos:
\operatorname{Var}(X)=3,7 - (1,7)^2.
Calculo (1,7)^2:
(1,7)^2 = 1,7\cdot 1,7 = 2,89.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=3,7 - 2,89 = 0,81.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo.\n
A variância \,0,81 indica quão espalhados, em média ao quadrado, estão os valores de X em relação à média 1,7. Se quiser comparar em unidades originais, a raiz quadrada da variância dá o desvio padrão: \sqrt{0,81}=0,9. Vai ficar tudo bem — esse tipo de conta é padrão em prova e você já tem os passos para reproduzir!

Resposta

0,81

Exercícios relacionados