Um estudo de engenharia ambiental analisou o número de descargas diárias de efluentes em um pequeno rio, representado pela variável aleatória
, que pode assumir apenas quatro valores. A função de probabilidade de
está apresentada na tabela abaixo:
0
1
2
3
0,1
0,3
0,4
0,2
Calcule o valor esperado do número de descargas diárias.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Passo 1
O enunciado dá a variável aleatória
que representa o número de descargas diárias e pode assumir apenas os valores
. As probabilidades fornecidas são:
A pergunta é: calcular o valor esperado (esperança matemática) do número de descargas diárias, ou seja,
.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o valor esperado de uma variável aleatória discreta: ele é uma média ponderada dos valores possíveis da variável, onde cada valor é ponderado pela sua probabilidade. A fórmula geral é
onde a soma percorre todos os valores possíveis de
. Aqui cada símbolo significa:
-
: valor esperado (esperança) da variável ; -
: um valor possível que pode assumir; -
: probabilidade de tomar o valor .
Passo 3
Antes de calcular, é bom conferir se as probabilidades estão consistentes (devem somar
). Vamos somar:
Como a soma é
, a distribuição está bem definida e podemos aplicar a fórmula do valor esperado.
Passo 4
Aplicando a fórmula, calculamos cada termo
:
Passo 5
Agora somamos os termos para obter
:
Interpretação rápida: em média, espera-se cerca de
descargas por dia nesse rio — não espere
descargas exatamente num dia, mas sim que a média ao longo de muitos dias fique próxima desse valor. Força aí nos estudos — você já entendeu o essencial para calcular esperanças!