Um estudo de engenharia ambiental analisou o número de descargas diárias de efluentes em um pequeno rio, representado pela variável aleatória X, que pode assumir apenas quatro valores. A função de probabilidade de X está apresentada na tabela abaixo:
x 0 1 2 3
P(X=x) 0,1 0,3 0,4 0,2
Calcule o valor esperado do número de descargas diárias.

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória X que representa o número de descargas diárias e pode assumir apenas os valores 0,1,2,3. As probabilidades fornecidas são:
P(X=0)=0,1,\quad P(X=1)=0,3,\quad P(X=2)=0,4,\quad P(X=3)=0,2.
A pergunta é: calcular o valor esperado (esperança matemática) do número de descargas diárias, ou seja, E[X].

Passo 2

Vamos lembrar o que é o valor esperado de uma variável aleatória discreta: ele é uma média ponderada dos valores possíveis da variável, onde cada valor é ponderado pela sua probabilidade. A fórmula geral é
E[X]=\sum_{x} x\,P(X=x),
onde a soma percorre todos os valores possíveis de X. Aqui cada símbolo significa:
  • E[X]: valor esperado (esperança) da variável X;
  • x: um valor possível que X pode assumir;
  • P(X=x): probabilidade de X tomar o valor x.

Passo 3

Antes de calcular, é bom conferir se as probabilidades estão consistentes (devem somar 1). Vamos somar:
0,1+0,3+0,4+0,2=1,0.
Como a soma é 1,0, a distribuição está bem definida e podemos aplicar a fórmula do valor esperado.

Passo 4

Aplicando a fórmula, calculamos cada termo x\,P(X=x):
0\cdot 0,1 = 0,
1\cdot 0,3 = 0,3,
2\cdot 0,4 = 0,8,
3\cdot 0,2 = 0,6.

Passo 5

Agora somamos os termos para obter E[X]:
E[X]=0+0,3+0,8+0,6=1,7.
Interpretação rápida: em média, espera-se cerca de 1,7 descargas por dia nesse rio — não espere 1{,}7 descargas exatamente num dia, mas sim que a média ao longo de muitos dias fique próxima desse valor. Força aí nos estudos — você já entendeu o essencial para calcular esperanças!

Resposta

1,7

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