1. Analise as seguintes “soluções” para a questão abaixo.
Questão. Considere a função f(x)=x|x|. Decida se f é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, calcule f^{\prime}(0). Justifique suas afirmações.
“solução” 1. f^{\prime}(0)=0, pois f(0)=0.
“solução” 2. Como a função g(x)=|x| não é derivável em x=0, não é possível usar a regra do produto para derivar f em x=0. Logo f não é derivável em x=0.
“solução” 3. Temos f(x)=h(x) g(x), onde h(x)=x e g(x)=|x|. Assim:
f^{\prime}(0)=h^{\prime}(0) g(0)+h(0) g^{\prime}(0) ;
como g(0)=0 e h(0)=0 então f^{\prime}(0)=0.
“solução” 4. Temos f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^{2} & , \text { se } x<0 \\\ x^{2} & , \text { se } x \geq 0\end{array}\right.. Logo \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}-0}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x=0 \mathrm{e} \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x^{2}-0}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}-x=0. Portanto \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0, ou seja f^{\prime}(0)=0.
Resp.: somente a solução 4 está correta.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a função
f(x)=x\,|x|
é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, calcular f'(0). Para isso vamos usar a definição de derivada via limite do quociente incremental
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0},
e verificar também a validade das regras de derivação (como a do produto).

Passo 2

Analisando a “solução 1”: “ f'(0)=0, pois f(0)=0.”
Aqui não há cálculo do limite do quociente incremental, nem justificativa. O fato de f(0)=0 não dá nenhuma informação direta sobre f'(0). Logo, essa “solução 1” está incorreta por falta de justificação.

Passo 3

Analisando a “solução 2”: “Como g(x)=|x| não é derivável em 0, não posso aplicar a regra do produto, logo f não é derivável em 0.”
A regra do produto exige derivabilidade de ambos os fatores, mas mesmo sem usar diretamente essa regra podemos verificar a derivabilidade de f por definição. De fato, é possível que um produto de funções não deriváveis isoladamente seja derivável. Portanto, essa “solução 2” está equivocada.

Passo 4

Analisando a “solução 3”: usa a regra do produto
f(x)=h(x)\,g(x),\quad h(x)=x,\;g(x)=|x|,
e escreve
f'(0)=h'(0)\,g(0)+h(0)\,g'(0).
Mas g'(0) não existe, então a regra do produto não se aplica aqui. Essa dedução é inválida, logo a “solução 3” também está errada.

Passo 5

Analisando a “solução 4”: primeiro escreve f\) de forma piecewise: \[f(x)= \begin{cases} -x^{2},&x<0,\\\ x^{2},&x\ge0. \end{cases}
Então calcula as derivadas lateralmente:
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to0^+}\frac{x^{2}-0}{x} =\lim_{x\to0^+}x =0,
\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to0^-}\frac{-x^{2}-0}{x} =\lim_{x\to0^-}(-x) =0.
Como as duas derivadas laterais coincidem e valem 0\], concluímos que \(f é derivável em 0 e
f'(0)=0.
Esse procedimento segue rigorosamente a definição de derivada, portanto a “solução 4” está correta.

Resposta

Somente a solução 4 está correta.

Exercícios relacionados