- Analise as seguintes “soluções” para a questão abaixo.
Questão. Considere a função
. Decida se
é derivável em
e, em caso afirmativo, calcule
. Justifique suas afirmações.
“solução” 1.
, pois
.
“solução” 2. Como a função
não é derivável em
, não é possível usar a regra do produto para derivar
em
. Logo
não é derivável em
.
“solução” 3. Temos
, onde
e
. Assim:
como
e
então
.
“solução” 4. Temos
. Logo
. Portanto
, ou seja
.
Resp.: somente a solução 4 está correta.
“solução” 1.
“solução” 2. Como a função
“solução” 3. Temos
“solução” 4. Temos
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a função
é derivável em
e, em caso afirmativo, calcular
. Para isso vamos usar a definição de derivada via limite do quociente incremental
e verificar também a validade das regras de derivação (como a do produto).
Passo 2
Analisando a “solução 1”: “
, pois
.”
Aqui não há cálculo do limite do quociente incremental, nem justificativa. O fato de não dá nenhuma informação direta sobre
. Logo, essa “solução 1” está incorreta por falta de justificação.
Aqui não há cálculo do limite do quociente incremental, nem justificativa. O fato de
Passo 3
Analisando a “solução 2”: “Como
não é derivável em
, não posso aplicar a regra do produto, logo
não é derivável em
.”
A regra do produto exige derivabilidade de ambos os fatores, mas mesmo sem usar diretamente essa regra podemos verificar a derivabilidade de por definição. De fato, é possível que um produto de funções não deriváveis isoladamente seja derivável. Portanto, essa “solução 2” está equivocada.
A regra do produto exige derivabilidade de ambos os fatores, mas mesmo sem usar diretamente essa regra podemos verificar a derivabilidade de
Passo 4
Analisando a “solução 3”: usa a regra do produto
e escreve
Mas
não existe, então a regra do produto não se aplica aqui. Essa dedução é inválida, logo a “solução 3” também está errada.
Passo 5
Analisando a “solução 4”: primeiro escreve
Então calcula as derivadas lateralmente:
Como as duas derivadas laterais coincidem e valem
é derivável em
e
Esse procedimento segue rigorosamente a definição de derivada, portanto a “solução 4” está correta.
Resposta
Somente a solução 4 está correta.