- Analise as seguintes “soluções” para a questão abaixo.
Questão. Considere a função
f(x)=x|x|. Decida se
f é derivável em
x=0 e, em caso afirmativo, calcule
f^{\prime}(0). Justifique suas afirmações.
“solução” 1.
f^{\prime}(0)=0, pois
f(0)=0.
“solução” 2. Como a função
g(x)=|x| não é derivável em
x=0, não é possível usar a regra do produto para derivar
f em
x=0. Logo
f não é derivável em
x=0.
“solução” 3. Temos
f(x)=h(x) g(x), onde
h(x)=x e
g(x)=|x|. Assim:
f^{\prime}(0)=h^{\prime}(0) g(0)+h(0) g^{\prime}(0) ;
como
g(0)=0 e
h(0)=0 então
f^{\prime}(0)=0.
“solução” 4. Temos
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^{2} & , \text { se } x<0 \\\ x^{2} & , \text { se } x \geq 0\end{array}\right.. Logo
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}-0}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x=0 \mathrm{e}
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x^{2}-0}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}-x=0. Portanto
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0, ou seja
f^{\prime}(0)=0.
Resp.: somente a solução 4 está correta.