Calcule f^{\prime}(x) para as funções f abaixo:
f(x)=\frac{4 x-x^{4}}{\left(x^{3}+2\right)^{100}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{4x - x^{4}}{\bigl(x^{3}+2\bigr)^{100}}.
O conteúdo envolvido é a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia, pois temos um numerador u(x)=4x - x^{4} e um denominador v(x)=(x^{3}+2)^{100}.

Passo 2

Aplicamos a Regra do Quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui
u'(x)=\frac{d}{dx}(4x - x^{4})=4 -4x^{3},
e para v(x)=(x^{3}+2)^{100} usamos a Regra da Cadeia:
v'(x)=100\,(x^{3}+2)^{99}\cdot\frac{d}{dx}(x^{3}+2) =100\,(x^{3}+2)^{99}\cdot 3x^{2} =300x^{2}\,(x^{3}+2)^{99}.

Passo 3

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac{\bigl(4-4x^{3}\bigr)\,(x^{3}+2)^{100} -\bigl(4x - x^{4}\bigr)\,300x^{2}\,(x^{3}+2)^{99}} {(x^{3}+2)^{200}}.
Fatoramos (x^{3}+2)^{99} no numerador:
f'(x) =\frac{(x^{3}+2)^{99}\Bigl[(4-4x^{3})(x^{3}+2)-300x^{2}(4x - x^{4})\Bigr]} {(x^{3}+2)^{200}} =\frac{(4-4x^{3})(x^{3}+2)-300x^{2}(4x - x^{4})} {(x^{3}+2)^{101}}.

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos o numerador:
(4-4x^{3})(x^{3}+2) =8-4x^{6}-4x^{3},
300x^{2}(4x - x^{4}) =1200x^{3}-300x^{6}.
Logo,
(4-4x^{3})(x^{3}+2)-300x^{2}(4x - x^{4}) =(8-4x^{6}-4x^{3})-(1200x^{3}-300x^{6}) =8+296x^{6}-1204x^{3}.

Passo 5

Fatorando 4 no numerador temos
8+296x^{6}-1204x^{3} =4\bigl(2+74x^{6}-301x^{3}\bigr).
Portanto,
f'(x) =\frac{4\bigl(74x^{6}-301x^{3}+2\bigr)}{(x^{3}+2)^{101}}.

Resposta

f'(x) =\frac{4\bigl(74x^{6}-301x^{3}+2\bigr)}{(x^{3}+2)^{101}}.

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